Áp dụng bđt Cô si cho 3 số không âm ta được:

1 = x + y + z \(\ge3.\sqrt[3]{xyz}\) (*)

Do đó, 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) \(\ge3.\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) (**)

Dễ thấy 2 vế của (*) và (**) đều không âm nên nhân từng vế của chúng ta được: 2 \(\ge9.\sqrt[3]{A}\)

\(\Rightarrow A\le\left(\frac{2}{9}\right)^3\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)

Vậy ...

Từ giả thiết, x+y=100-z\(\leq\)40

Theo BĐT Cô-si: \(3x.3y.z\le\left(\dfrac{3x+3y+z}{3}\right)^3=\left(\dfrac{2x+2y+100}{3}\right)^3\le\left(\dfrac{2.40+100}{3}\right)^3=216000\Rightarrow xyz\le24000\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=20 và z=60

không biết :))))

Lời giải:

Ta có:

\(S=xyz(x+y)(y+z)(z+x)=(xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\)

Áp dụng BĐT AM-GM có:

\((xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\leq \left(\frac{xz+yz+xy+xz+yz+xy}{3}\right)^3\)

\(=\left(\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right)^3\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

Do đó:

\(S\leq \left[\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right]^3\leq \left(\frac{2.\frac{1}{3}}{3}\right)^3=\frac{8}{729}\)

Vậy \(S_{\max}=\frac{8}{729}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

=> \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)

Hai cái còn lại tương tự

=>  A \(\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{x+y+z}\cdot\frac{x+y+z}{xyz}=1\)

Vậy MAx A = 1 tại x = y = z = 1