\(ab+bc+ca=0\)

=>   \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)

=>  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

Đặt:  \(\frac{1}{a}=x;\)\(\frac{1}{b}=y;\)\(\frac{1}{c}=z\)

Ta có:   \(x+y+z=0\)

=>  \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)  (tự c/m, ko c/m đc ib)

hay  \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

\(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc.\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

     \(=abc.\frac{3}{abc}=3\)

thanks

ta có : a<= 1 => a-1<=0 

          b<=1 => b-1<=0  

=> (b-1)(a-1) >= 0 => ab-a-b+1 >=0 => ab+1>=a+b => 2ab+1>= a+b ( vì ab>=0) 

=> 2ab+1+1>= a+b+c  ( vì 1>= c) 

2ab+2>=a+b+c => 1/2ab+2<=1/a+b+c c/ab+1<= 2c/a+b+c

chứng minh tương tự ta có b/ac+1 <= 2b/a+b+c ;   a/bc+1<= 2a/a+b+c 

=> a/bc+1+b/ac+1 + c/ab+c <= 2a+2b+2c / a+b+c = 2 ( đpcm )

Trần Việt Anh Đề có cho a,b,c < 1 đâu ?

Incursion_03 cop mạng mà thầy :>

Vì: \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:

\(\left(a-1\right).\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\)    (1)

\(\left(a-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow ac-a-c+1\ge0\Leftrightarrow ac+1\ge a+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ac+1}\le\dfrac{1}{a+c}\Leftrightarrow\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\)    (2)

\(\left(b-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc-b-c+1\ge0\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{1}{b+c}\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b+c}\)      (3)

Cộng vế với vế của (1)(2) và (3) ta được:

\(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ac+1}\le2\left(đpcm\right)\)

Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:

\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge ab+1\ge a+b\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\left(1\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b=c}\left(2\right);\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\left(3\right)\)

Do đó: \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\left(4\right)\)

Mà: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(5\right)\)

Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1-b-a+ab\ge0\Leftrightarrow1+ab\ge a+b\)

Tiếp tục chứng minh.

\(\hept{\begin{cases}1\ge c\\0\le a\le b\Leftrightarrow ab\ge0\end{cases}}\)

Cộng theo vế: \(2\left(ab+1\right)\ge a+b+c\)

Trở lại bài toán: \(\frac{c}{ab+1}=\frac{2c}{2\left(ab+1\right)}\le\frac{2c}{a+b+c}\)

Tương tự rồi cộng theo vế suy ra đpcm

Ta có: \(a\le1\Rightarrow a-1\le0\)

\(b\le1\Rightarrow b-1\le0\)

Ta có: \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)( mới chứng minh ở trên đó )

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\Leftrightarrow2ab+1\ge ab\ge a+b\)

\(\Rightarrow2ab+2\ge a+b+c\Leftrightarrow\frac{1}{2}ab+2\ge\frac{1}{a+b+c}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)

Ta cũng chứng minh tương tự với \(\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c};\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\)

Từ đây bạn tự làm tiếp rồi suy ra đpcm nha

Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)

Chứng minh rằng \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)

Giải : 

Từ giả thiết ta có : \(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\Leftrightarrow1-\left(b+c\right)+bc\ge0\Rightarrow bc+1\ge b+c\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{a+b}\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có : \(\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\le\frac{b}{a+b}\left(2\right)\) ; \(\frac{c}{ab+1}\le c\le1\left(3\right)\)

Cộng (1) , (2) , (3) theo vế ta được : \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a+b}{a+b}+1=2\)

Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)

ta có : a<= 1 => a-1<=0 

          b<=1 => b-1<=0  

=> (b-1)(a-1) >= 0 => ab-a-b+1 >=0 => ab+1>=a+b => 2ab+1>= a+b ( vì ab>=0) 

=> 2ab+1+1>= a+b+c  ( vì 1>= c) 

2ab+2>=a+b+c => 1/2ab+2<=1/a+b+c c/ab+1<= 2c/a+b+c

chứng minh tương tự ta có b/ac+1 <= 2b/a+b+c ;   a/bc+1<= 2a/a+b+c 

=> a/bc+1+b/ac+1 + c/ab+c <= 2a+2b+2c / a+b+c = 2 ( đpcm )

Bạn Nguyễn Thị Thùy Chi làm dễ hiểu hơn đấy

Lời giải:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$a-b=b-c=c-a=0$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$

Khi đó:

$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$ 

Ta có đpcm.