a) Vì MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow\angle MAB=\angle MCA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MAB=\angle MCA\\\angle AMCchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MAB\sim\Delta MCA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Rightarrow MA^2=MB.MC\)

b) Vì \(DE\parallel AM\) và \(AM\bot AO\) (tiếp tuyến) \(\Rightarrow DE\bot AO\)

\(\Rightarrow\angle OAD+\angle ADE=90\)

Ta có: \(\angle OAD=\dfrac{180-\angle AOC}{2}\) (\(\Delta OAC\) cân tại O) \(=90-\dfrac{1}{2}\angle AOC\)

\(=90-\angle ABC\)

\(\Rightarrow\angle ADE=\angle ABC\Rightarrow BCDE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle BEC=\angle BDC=90\)

\(\Rightarrow\) CE là đường cao

c) Vì N là điểm chính giữa cung BC \(\Rightarrow\angle BAN=\angle CAN\)

\(\Rightarrow AN\) là phân giác

Ta có: AI là phân giác \(\angle BAD\Rightarrow\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{AB}{AD}\left(1\right)\)

AK là phân giác \(\angle CAE\Rightarrow\dfrac{KC}{KE}=\dfrac{AC}{AE}\left(2\right)\)

Xét \(\Delta DAB\) và \(\Delta EAC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AEC=\angle ADB=90\\\angle BACchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DAB\sim\Delta EAC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{KC}{KE}\)

Theo đề: \(\dfrac{IB}{ID}.\dfrac{KC}{KE}=\dfrac{IB}{ID}+\dfrac{KC}{KE}\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AD}\right)^2=2\dfrac{AB}{AD}\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow cosBAC=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\angle BAC=60\)

Vậy tam giác ABC có \(\angle BAC=60\) thì \(\dfrac{IB}{ID}.\dfrac{KC}{KE}=\dfrac{IB}{ID}+\dfrac{KC}{KE}\)

a: góc MAO+góc MBO=180 độ

=>AMBO nội tiếp

b: MAOB nội tiếp

=>góc MOB=góc MAB=góc ACB

a: Xét ΔMBA và ΔMAC có

góc MAB=góc MCA

góc M chung

=>ΔMBA đồng dạng với ΔMAC

=>MB/MA=MA/MC

=>MA^2=MB*MC

=>MC/MB=AB^2/AC^2

b: EF//AM

AM vuông góc OA

=>EF vuông góc OA

=>góc AEF+góc OAE=90 độ

=>góc AEF+(180 độ-góc AOB)/2=90 độ

=>góc AEF+90 độ-góc ACB=90 độ

=>gócAEF=góc ACB

=>góc BEF+góc BCF=180 độ

=>BEFC nội tiếp

=>góc BEC=góc BFC=90 độ

Xét ΔABC có

BF,CE là đường cao

BF căt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc CB tại D

a: Xét ΔMBA và ΔMAC có

góc MAB=góc MCA

góc M chung

=>ΔMBA đồng dạng với ΔMAC

=>MB/MA=MA/MC

=>MA^2=MB*MC

=>MC/MB=AB^2/AC^2

b: EF//AM

AM vuông góc OA

=>EF vuông góc OA

=>góc AEF+góc OAE=90 độ

=>góc AEF+(180 độ-góc AOB)/2=90 độ

=>góc AEF+90 độ-góc ACB=90 độ

=>gócAEF=góc ACB

=>góc BEF+góc BCF=180 độ

=>BEFC nội tiếp

=>góc BEC=góc BFC=90 độ

Xét ΔABC có

BF,CE là đường cao

BF căt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc CB tại D

2) Theo 1). dễ thấy Δ B F A ∽ Δ B N P ⇒ Δ B N F ∽ Δ B P A ⇒ B N B P = F N A P (1).

Tương tự Δ C M E ∽ Δ C P A ⇒ C M C P = E M A P  (2).

Từ (1) và (2), ta có B N C M ⋅ C P B P = F N E M và theo giả thiết F N E M = B N C M , suy ra   C P = B P ⇒ A D là phân giác góc B A C ^ .

1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

a) Từ O hạ OT vuông góc với MN tại T. Dễ thấy OE là trung trực AC nên OE vuông góc AC.

Mà AC // EM nên OE vuông góc EM. Từ đó ^OEM = ^OCM = ^OTM = 90⁰, suy ra 5 điểm O,E,M,C,T cùng thuộc 1 đường tròn.

Tương tự, ta có 5 điểm O,F,B,N,T cùng thuộc 1 đường tròn. Do đó ^OTE = ^OCE = ^OAE = ^OBF = ^OTF.

Từ đó 3 điểm E,F,T thẳng hàng. Vậy thì ^OCT = ^ OEA = ^OEC = ^OTC.

Suy ra \(\Delta\)OCT cân tại O hay OT = OC. Khi đó MN tiếp xúc với (O) tại T.  Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau:

BN = TN, CM = TM => BN + CM = MN (đpcm).

b) Gọi đường thẳng CR cắt (O) tại S. Ta sẽ chỉ ra S,B,Q thẳng hàng. Thật vậy:

Ta có: ^AQR + ^ACM = 180⁰ => ^AQR = 180⁰ - ^ACM = ^ABC = 180⁰ - ^ASR => Tứ giác ASRQ nội tiếp

=> ^RSQ = ^RAQ = 180⁰ - ^AQR - ^ARQ = 180⁰ - ^ABC - ^ACB = ^BAC = ^CSB.

Từ đó 3 điểm S,B,Q thẳng hàng (Vì SB trùng SQ). Vậy BQ và CR cắt nhau trên đường tròn (O) (đpcm).