Gọi \(\left(x_G;y_G\right)\) là tọa độ của G. Theo công thức tính trọng tâm tam giác, ta có :

\(\begin{cases}x_G=\frac{-1+4+0}{3}=1\\y_G=\frac{0+0+m}{3}=\frac{m}{3}\end{cases}\)

Vậy \(G\left(1;\frac{m}{3}\right)\)

\(\widehat{AGB}=90^0\Leftrightarrow\overrightarrow{BG}\perp AG\Leftrightarrow\overrightarrow{BG}.\overrightarrow{AG}=0\)  (1)

           \(\overrightarrow{BG}=\left(1-4;\frac{m}{3}-0\right)=\left(-3;\frac{m}{3}\right)\)

            \(\overrightarrow{AG}=\left(1+1;\frac{m}{3}-0\right)=\left(2;\frac{m}{3}\right)\)

\(\overrightarrow{BG}.\overrightarrow{AG}=\frac{m^2}{9}-6\)  (2)

Thay (2) vào (1) ta có : \(\widehat{AGB}=90^0\Leftrightarrow m^2=54\Leftrightarrow m=\pm3\sqrt{6}\)

Vậy có 2 giá trị cần tìm của m

Tọa độ G là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+0}{3}=2\\y=\dfrac{0-4-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ M là:

x=(2+0)/2=1 và y=(-4-2)/2=-3

Tọa độ N là:

x=(4+0)/2=2 và y=(0-2)/2=-1

Tọa độ P là;

x=(4+2)/2=3 và y=(0-4)/2=-2

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+3}{3}=2\\y=\dfrac{-3-1-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

=>Tam giác ABC và tam giác MNP có chung trọng tâm

câu a rất đơn giản, bạn tự làm nhé

b) xét tam giác ABC cân tại A có Ad lừ đường phân giác từ đỉnh => AD là trung tuyến ứng với BC 

mà G là trọng tâm của tam giác ABC => A,G,D thẳng hàng

c) vì tam giác abd= tam giác acd (câu a) => DB= DC( 2 cạnh tương ứng) => DB= 1/2 BC = 10cm/2 = 5cm

xét tam giác abc cân tại a có ad là trung tuyến ứng với cạnh đấy => ad là đường cáo ứng với cạnh đáy => ADB = 90^o

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có AD² +DB² = AB²

                                                                                                ... bạn tự tính tiếp nhé =.> AD= 12cm

mà G là trọng tâm => DG = 1/3 AD

                                    DG= 12cm/3 = 4cm

vậy DG=4cm(dpcm)

câu a rất đơn giản, bạn tự làm nhé

b) xét tam giác ABC cân tại A có Ad lừ đường phân giác từ đỉnh => AD là trung tuyến ứng với BC 

mà G là trọng tâm của tam giác ABC => A,G,D thẳng hàng

c) vì tam giác abd= tam giác acd (câu a) => DB= DC( 2 cạnh tương ứng) => DB= 1/2 BC = 10cm/2 = 5cm

xét tam giác abc cân tại a có ad là trung tuyến ứng với cạnh đấy => ad là đường cáo ứng với cạnh đáy => ADB = 90^o

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có AD² +DB² = AB²

                                                                                                ... bạn tự tính tiếp nhé =.> AD= 12cm

mà G là trọng tâm => DG = 1/3 AD

                                    DG= 12cm/3 = 4cm

vậy DG=4cm(dpcm)