a, HS tự làm

b, HS tự làm

c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang này

d, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại N

Đặt BH=2R; CH= 2R’

∆IOM vuông tại M có:

I M 2 = I O 2 - O M 2 =  R + r 2 - R - r 2 = 4 R r

Tương tự , ∆ION có  I N 2 = 4 R ' r

Suy ra IM+IN=EF=AH

Vậy  2 R r + 2 R ' r = 2 R R '

=>  r R + R ' = R R '

=> r =  R R ' R + R ' 2

minh moi bn vao link nay dang ky roi tra loi minigame nha : https://alfazi.edu.vn/question/5b7768199c9d707fe5722878

Gọi tiếp điểm của đường tròn (I) với AB và (O;R) theo thứ tự là D và E.

Đường tròn (I) tiếp xúc trong với (O;R) tại E nên 4 điểm A;O;I;E thẳng hàng.

Ta có: AO là phân giác của ^BAC (Do \(\Delta\)ABC đều nội tiếp (O))

=> AI là phân giác ^BAC => ^DAI = ^BAC / 2 = 30⁰ 

AB tiếp xúc với (I) tại D => ^ADI = 90⁰. 

Xét \(\Delta\)AID có: ^ADI = 90⁰; ^DAI = 30⁰ => \(\Delta\)AID nửa đều \(\Rightarrow\frac{ID}{AI}=\frac{1}{2}\)

Hay \(\frac{IE}{AI}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{IE}{AE}=\frac{1}{3}\)(Do A;I;E thẳng hàng) \(\Rightarrow IE=ID=\frac{2R}{3}\)

Thấy ^ABE chắn nửa đg tròn (O;R) => ^ABE = 90⁰ => BE vuông góc AB. Mà ID vuông góc AB

=> ID // BE => \(\frac{IE}{AE}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}\)(Theo ĐL Thales)

Áp dụng ĐL Pytagorean ta dễ dàng tính được: \(AB=R.\sqrt{3}\)\(\Rightarrow BD=\frac{AB}{3}=\frac{R}{\sqrt{3}}\)

Trong \(\Delta\)BDI có ^IDB = 90⁰ . Áp dụng ĐL Pytagorean:

\(IB=\sqrt{BD^2+ID^2}=\sqrt{\frac{R^2}{3}+\frac{4R^2}{9}}=\sqrt{\frac{7R^2}{9}}=\frac{R.\sqrt{7}}{3}\)

ĐS: .....

Gọi F là trung điểm MN.\(C_1\) là tiếp điểm của (P) và (Q).\(FC_1\) cắt AB,AC tại D,E.

\(\Rightarrow\left(P\right),\left(Q\right)\) lần lượt là đường tròn nội tiếp của \(\Delta DBF,\Delta EFC\)

Dễ dàng chứng minh được PQNM là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) 

\(\Rightarrow FC_1\bot BC\)

Xét \(\Delta DFB\) và \(\Delta CFE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EFC=\angle BFD=90\\\angle ECF=\angle BDF=90-\angle ABC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DFB\sim\Delta CFE\left(g-g\right)\)

mà bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta DFB,\Delta CFE\) bằng nhau

\(\Rightarrow\Delta DFB=\Delta CFE\Rightarrow DF=FC\Rightarrow\Delta DFC\) vuông cân tại F

Ta có: \(\angle DAC=\angle DFC=90\Rightarrow DAFC\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle FAC=\angle FDC=45\Rightarrow\) AF là phân giác \(\angle BAC\Rightarrow\) đpcm