M = 1 + 3 + 3² + ... + 3²⁰²¹

⇒ 3M = 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰²²

⇒ 2M = 3M - M

= (3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰²²) - (1 + 3 + 3² + ... + 3²⁰²¹)

= 3²⁰²² - 1

⇒ 2M + 1 = 3²⁰²² + 1 - 1 = 3²⁰²²

Mà 2M + 1 = 3²

⇒ 3²⁰²² = 3²ⁿ

⇒ 2n = 2022

⇒ n = 2022 : 2

⇒ n = 1011

M = 1 + 3 + 3² + ... + 3²⁰²¹

3M = 3(1 + 3 + 3² + ... + 3²⁰²¹)

3M = 3 + 3² + ... + 3²⁰²²

3M - M = (3 + 3² + ... + 3²⁰²²) - (1 + 3 + 3² + ... + 3²⁰²¹)

2M = 3²⁰²² - 1 (1)

Thay (1) vào 2M + 1 = 3^2N, ta có

2M + 1 = 3^2n

=> 3²⁰²² - 1+ 1 = 3^2n

=> 3²⁰²² = 3^2n

=> 2n = 2022

=> n = 1011

Vậy n = 1011

mn mn ơiii

helllppppppppp

\(2,\\ 3^{n-3}+2^{n-3}+3^{n+1}+2^{n+2}\\ =3^{n-3}\left(1+3^4\right)+2^{n-3}\left(1+2^5\right)\\ =3^{n-3}\cdot82+2^{n-3}\cdot33\)

Vì \(3^{n-3}\cdot82⋮2;⋮3\) nên \(3^{n-3}\cdot82⋮6\)

\(2^{n-3}\cdot33⋮2;⋮3\) nên \(2^{n-3}\cdot33⋮6\)

Do đó tổng trên chia hết cho 6 với mọi \(n\in N\)

Giả sử \(m\ge n\).

Ta có: \(2^{2m}+2^{2n}=4^m+4^n=4^n\left(4^{m-n}+1\right)\).

Đặt \(4^{m-n}+1=l^2\Leftrightarrow4^{m-n}=\left(l-1\right)\left(l+1\right)\)

Dễ thấy với các trường hợp của \(m-n\)thì không có \(l\)thỏa mãn. 

Vậy phương trình vô nghiệm. 

Bạn giải chi tiết hợn được không?

Mình giải chi tiết hơn đoạn "Dễ thấy". 

\(4^{m-n}=\left(l-1\right)\left(l+1\right)\)

- \(m-n=0\): \(\left(l-1\right)\left(l+1\right)=1\)(không có nghiệm nguyên)

- \(m-n=1\): \(\left(l-1\right)\left(l+1\right)=4\)(không có nghiệm nguyên)

- \(m-n>1\): Do \(l-1\)và \(l+1\)là hai số tự nhiên cùng tính chẵn lẻ liên tiếp nên tích của chúng không là lũy thừa của \(4\).

Bài 1: Gọi d=ƯCLN(3n+11;3n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+11⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(3n+11-3n-2⋮d\)

=>\(9⋮d\)

=>\(d\in\left\{1;3;9\right\}\)

mà 3n+2 không chia hết cho 3

nên d=1

=>3n+11 và 3n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2:

a:Sửa đề: \(n+15⋮n-6\)

=>\(n-6+21⋮n-6\)

=>\(n-6\in\left\{1;-1;3;-3;7;-7;21;-21\right\}\)

=>\(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27;-15\right\}\)

mà n>=0

nên \(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27\right\}\)

b: \(2n+15⋮2n+3\)

=>\(2n+3+12⋮2n+3\)

=>\(12⋮2n+3\)

=>\(2n+3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12\right\}\)

=>\(n\in\left\{-1;-2;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2};0;-3;\dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2};-\dfrac{9}{12};\dfrac{9}{2};-\dfrac{15}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên n=0

c: \(6n+9⋮2n+1\)

=>\(6n+3+6⋮2n+1\)

=>\(2n+1\inƯ\left(6\right)\)

=>\(2n+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};1;-2;\dfrac{5}{2};-\dfrac{7}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên \(n\in\left\{0;1\right\}\)