Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

đây là nhóm hỏi những bài khó chứ không phải nơi chép bài của những bạn lười nhé

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//BC

Xét tứ giác BMNC có MN//BC

nên BMNC là hình thang

Bài 12:

:v Mình sửa P là trung điểm của EG

a) Ta có: \(\widehat{EAC}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

\(\widehat{GAB}=\widehat{GAC}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\)

Xét tam giác EAC và tam giác BAG có:

\(\hept{\begin{cases}EA=AB\\\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\left(cmt\right)\\AG=AC\end{cases}}\Rightarrow\Delta EAC=\Delta BAG\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow CE=BG\)( 2 cạnh t. ứng )

+) Gọi O là giao điểm của EC và BG, Gọi I là giao điểm của AC và BG 

Vì \(\Delta EAC=\Delta BAG\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\)

Vì tam giác AIG vuông tại A nên \(\widehat{I1}+\widehat{AGB}=90^0\)(2 góc phụ nhau )

Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\left(cmt\right),\widehat{I1}=\widehat{I2}\)( 2 góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{I2}+\widehat{ACE}=90^0\)

Xét tam giác OIC có \(\widehat{I2}+\widehat{ACE}+\widehat{IOC}=180^0\left(dl\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IOC}=90^0\)

\(\Rightarrow BG\perp EC\)

b) Vì ABDE là hình vuông (gt)

\(\Rightarrow EB\)cắt AD tại Q là trung điểm của mỗi đường (tc)

Xét tam giác EBC có Q là trung điểm của EB (cmt) , M là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow QM\)là đường trung bình của tam giác EBC

\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}EC\left(tc\right)\)

CMTT: \(PN=\frac{1}{2}EC;QP=\frac{1}{2}BG,MN=\frac{1}{2}BG\)

Mà EC=BG (cm câu a )

\(\Rightarrow QM=MN=NP=PQ\)

Xét tứ giác MNPQ  có \(QM=MN=NP=PQ\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MNPQ\)là hình thoi ( dhnb ) (1)

CM: MN//BG , QM//EC ( dựa vào đường trung bình tam giác )

Mà \(BG\perp EC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MN\perp MQ\)

\(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^0\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MNPQ\) là hình vuông ( dhnb ) 

\(\)

Bài 11:

a) Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=90^0+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0\)

\(\Rightarrow D,A,E\)thẳng hàng

b) Vì AHBD là hình chữ nhật (gt)

\(\Rightarrow AB\)cắt DH tại trung điểm mỗi đường (tc) và AB=DH(tc)

Mà P là trung điểm của AB (gt)

\(\Rightarrow P\)là trung điểm của DH  (1)

\(\Rightarrow PH=\frac{1}{2}DH,PA=\frac{1}{2}AB\)kết hợp với AB=DH (cmt)

\(\Rightarrow PH=PA\)

\(\Rightarrow P\in\)đường trung trục của AH

CMTT Q thuộc đường trung trực của AH

\(\Rightarrow PQ\)là đường trung trực của AH

c)  Từ (1) => P thuộc DH

=> D,P,H thẳng hàng

d) Vì ABCD là hình chữ nhật (gt)

=> DH là đường phân giác của góc BHA (tc) mà góc BHA= 90 độ

=> góc DHA= 45 độ

CMTT AHE =45 độ

=> góc DHA+ góc AHE=90 độ

Hay góc DHE=90 độ

=> DH vuông góc với HE

Bài 7 failed nha bạn bạn xem lại đề 

a: Xét tứ giác AMDN có góc AMD=góc AND=góc MAN=90 độ

nên AMDN là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác NKIM có

D là trung điểm của NI

D là trung điểm của KM

Do đó: NKIM là hình bình hành

mà NI vuông góc với KM

nên NKIM là hình thoi

c: Xét ΔABC có DN//AB

nên DN/AB=CN/CA=CD/CB

=>CN=1/2CA
hay N là trung điểm của AC

Xét ΔABC có DM//AC
nên BM/BA=BD/BC=1/2

hay BM=1/2BA
=>M là trung điểm của AB

Ta có: ΔAHB vuông tại H 

mà HM là đường trung tuyến

nên MA=MH

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đừog trung tuyến

nên HN=AN

Xét ΔMAN và ΔMHN có

MA=MH

AN=HN

MN chung

Do đó: ΔMAN=ΔMHN

Suy ra:góc MHN=90 độ

Nếu tg ABC cân tại A

Dễ thấy \(\Delta AEC=\Delta ADB\left(ch-gn\right)\)

Do đó \(AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ADE}\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AED}=\widehat{HEB}\\\widehat{ADE}=\widehat{CKD}\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{HEB}=\widehat{CKD}\)

Mà \(\widehat{EHB}=\widehat{DKC}\left(=90^0\right);BE=CD\left(AB-AE=AC-AD\right)\)

Do đó \(\Delta BHE=\Delta CKD\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow BH=CK\)

Mà \(BH//CK\left(\perp HK\right)\)

Do đó BCKH là hbh

Mà \(\widehat{KHB}=90^0\) nên BCKH là hcn