Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của MN

=>OA\(\perp\)MN tại I

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOIC vuông tại I có

\(\widehat{HOA}\) chung

Do đó: ΔOHA~ΔOIC

=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OA}{OC}\)

=>\(OH\cdot OC=OA\cdot OI\)

mà \(OA\cdot OI=OM^2=OB^2\)

nên \(OB^2=OH\cdot OC\)

=>\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

Xét ΔOBC và ΔOHB có

\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

\(\widehat{BOC}\) chung

Do đó: ΔOBC~ΔOHB

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OHB}\)

mà \(\widehat{OHB}=90^0\)

nên \(\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại A

=>CA\(\perp\)AB tại A

=>CA\(\perp\)BE tại A

Ta có: \(\widehat{OAE}=\widehat{OAC}+\widehat{EAC}=\widehat{OAC}+90^0\)

\(\widehat{MAC}=\widehat{MAO}+\widehat{OAC}=\widehat{OAC}+90^0\)

Do đó: \(\widehat{OAE}=\widehat{MAC}\)

Xét tứ giác CKAE có \(\widehat{CKE}=\widehat{CAE}=90^0\)

nên CKAE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ACK}=\widehat{AEK}\)

=>\(\widehat{ACM}=\widehat{AEO}\)

Xét ΔAMC và ΔAOE có

\(\widehat{ACM}=\widehat{AEO}\)

\(\widehat{MAC}=\widehat{OAE}\)

Do đó: ΔAMC đồng dạng với ΔAOE

=>\(\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{AC}{AE}\)

=>\(AM\cdot AE=AO\cdot AC\)

a: Ta có: ΔOAM vuông tại A

=>\(OA^2+AM^2=OM^2\)

=>\(MA^2=15^2-9^2=144\)

=>\(MA=\sqrt{144}=12\left(cm\right)\)

Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{AO}{OM}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{AMO}\simeq36^052'\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}\simeq73^044'\)

c: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=OC^2\)

Xét ΔOHE vuông tại H và ΔOKM vuông tại K có

\(\widehat{HOE}\) chung

Do đó: ΔOHE đồng dạng với ΔOKM

=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OE}{OM}\)

=>\(OK\cdot OE=OH\cdot OM\)

=>\(OK\cdot OE=OC^2\)

=>\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{OE}\)

Xét ΔOKC và ΔOCE có

\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{OE}\)

\(\widehat{KOC}\) chung

Do đó: ΔOKC đồng dạng với ΔOCE

=>\(\widehat{OKC}=\widehat{OCE}\)

=>\(\widehat{OCE}=90^0\)

=>EC là tiếp tuyến của (O)

giup minh gap voi!!!

Do MA và MB là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)

Mà tổng 4 góc trong tức giác bằng 360 độ

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=360^0-\left(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}+\widehat{AMB}\right)=140^0\)

b. Do MA, MB là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow OM\) đồng thời là phân giác \(\widehat{AMB}\)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=\dfrac{1}{2}\widehat{AMB}\) (1)

Mà ON song song AM (cùng vuông góc OA)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{NOM}\) (so le trong) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{NOM}=\widehat{BMO}\)

\(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại N