Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = 1\) và \({u_n} = {u_{n - 1}}\left( {n - 1} \right)\) với mọi \(n \ge 2\)
B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = 1\) và \({u_n} = 2{u_{n - 1}} + 1\) với mọi \(n \ge 2\)
C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = 1\) và \({u_n} = u_{n - 1}^2\) với mọi \(n \ge 2\)
D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = 1\) và \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}}\) với mọi \(n \ge 2\)
Đáp án đúng là: D
Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 3 và un = \(\frac{1}{3}\).un-1 với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 và q = \(\frac{1}{3}\).
Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số -2,2,-2,2,...,-2,2,-2,2...
B. Dãy số các số tự nhiên 1, 2, 3,...
C. Dãy số u n , xác định bởi công thức:
u n = 3 n + 1 v ớ i n ∈ N * với n ∈ N *
D. Dãy số u n , xác định bởi hệ:
u 1 = 1 u n = u n - 1 + 2 ( n ∈ N * : n ≥ 2 )
Trong các dãy số u n sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ?
A. u n = 3 n
B. u n = 2 n
C. u n = 1 n
D. u n = 2 n + 1
Chọn B
Ta thấy, với ∀ n ≥ 2 , n ∈ ℕ dãy số u n = 2 n có tính chất:
u n u n - 1 = 2 n 2 n - 1 = 2 nên là cấp số nhân với công bội q = 2 , u 1 = 2
Trong các dãy số u n sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. u n = 3 n
B. u n = 2 n
C. u n = 1 n
D. u n = 2 n + 1
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \({u_1} = - 1,\;{u_{n + 1}} = u_n^2\) B. \({u_1} = - 1,\;{u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
C. \({u_1} = - 1,\;{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\) D. \({u_1} = - 1,\;{u_{n + 1}} = {u_n} - 2\)
A. Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{u_n^2}}{{{u_n}}} = {u_n}\) phụ thuộc vào n nên (\({u_n})\) thay đổi, do đó\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải cấp số nhân.
B. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{{u_n}}}}= 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).
C. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} = 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = 2\) .
D. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} = - 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = -2\).
Vậy ta chọn đáp án B.
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
a) \({u_n} = 3{\left( { - 2} \right)^n}\);
b) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}{.7^n}\);
c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.\).
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = 3{\left( { - 2} \right)^{n + 1}}\)
Xét thương: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3{{\left( { - 2} \right)}^{n + 1}}}}{{3{{\left( { - 2} \right)}^n}}} = \frac{{3{{\left( { - 2} \right)}^n}.\left( { - 2} \right)}}{{3{{\left( { - 2} \right)}^n}}} = - 2\)
Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội \(q = - 2\).
b) Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( { - 1} \right)^{\left( {n + 1} \right) + 1}}{.7^{n + 1}} = {\left( { - 1} \right)^{n + 2}}{.7^{n + 1}}\)
Xét thương: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}{{.7}^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{.7}^n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}.\left( { - 1} \right){{.7}^n}.7}}{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{.7}^n}}} = - 7\)
Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội \(q = - 7\).
c) Ta có: \({u_1} = 1;{u_2} = 2{u_1} + 3 = 2.1 + 3 = 5;{u_3} = 2{u_2} + 3 = 2.5 + 3 = 13\)
Vì \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên dãy số không là cấp số nhân.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số x n , với x n = n 2
B. Dãy số y n với y n = 5 2 n - 3
C. Dãy số z n với z n = 2 n
D. Dãy số w n với w n = 3 n + 1 3 n + 1
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân
A. u 1 = 2 u n + 1 = u n 2
B. u 1 = - 3 u n + 1 = u n + 1
C. u 1 = - 1 u n + 1 = 3 u n
D. u 1 = 3 u n + 1 = 2 n . u n
Đáp án C
Cấp số nhân có công thức truy hồi dạng u 1 = a u n + 1 = q . u n
Dãy số u 1 = - 1 u n + 1 = 3 u n là CSN với u 1 = - 1 và công sai q = 3.
Trong các dãy số u n được cho bởi các phương án dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. u n = 2 n
B. u n = n 2
C. u n = n + 2
D. u n = 2 n
Đáp án C
Xét dãy số u n = n + 2 . Ta có: u n + 1 = n + 1 + 2 - n + 2 = 1 không đổi ⇒ u n = n + 2 là 1 CSC với công sai d = 1.
