Cho f(x) liên tục trên R và f ( 2 ) = 16 , ∫ 0 1 f ( 2 x ) = 2 .Tích phân ∫ 0 2 x f ' ( x ) d x bằng
A. 16
B. 30
C. 28
D. 36
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R \ 0 biết x . f x ≠ - 1 ∀ x ≠ 0 f(1) = -2 và với ∀ x ∈ R \ 0 Tính ∫ 1 e f x d x
A. .
B. .
C. .
D. .
Cho f(x) liên tục trên R và f(2) = 16; ∫ 0 1 f ( 2 x ) d x = 2 Tích phân ∫ 0 2 x f ' ( x ) d x bằng
A. 28
B. 30
C. 16
D. 36
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R\ {0; -1} thỏa mãn f(1) =-2ln2 và
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) . Tính f(2)
Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)
Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.
Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được
So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)
Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)
So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:
\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)
Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:
\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)
Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng:
\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)
Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:
Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)
\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và f ( 2 ) = 16 , ∫ 0 2 f ( x ) d x = 4. Tính I = ∫ 0 4 x f ' x 2 d x .
A. I = 144
B. I = 12
C. I = 112
D. I = 28
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(2)=16 và ∫ 0 1 f ( 2 x ) d x = 2 Tích phân I = ∫ 0 2 x f ' ( x ) d x bằng
A. I=30
B. I=28
C. I=36
D. I=16
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(2) = 16, ∫ 0 2 f ( x ) d x = 4 . Tính I = ∫ 0 1 x f ' ( 2 x ) d x
A. 13.
B.12.
C.20.
D.7.
Chọn D.
Đặt t = 2x => dt = 2dx, Đổi cận x = 0 <=> t = 0, x = 1 <=> t = 2
I = 1 4 ∫ 0 2 t f ' ( t ) d t
Đặt u = t ⇒ d u = d t d v = f ' ( t ) d t ⇒ v = f ( t )
I = 1 4 t f ( t ) 2 0 - ∫ 0 2 f ( t ) d t = 1 4 ( 2 f ( 2 ) - 0 f ( 0 ) - 4 ) = 7
Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f(x) + f'(x) = x và f(0) = 1. Tính f(1).
A. 2/e
B. 1 / e
C. e
D. e / 2
Chọn A
.
Nhân 2 vế của với ta được .
Hay .
Xét .
Đặt .
Suy ra .
Theo giả thiết nên
.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và f ( 2 ) = 16 , ∫ 0 2 f ( x ) d x = 4 Tính I = ∫ 0 4 x f ' ( x 2 ) d x
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn f(0)=0 và | f ( x ) - f ( y ) | ≤ | sin x - sin y | với mọi x , y ∈ R . Giá trị lớn nhất của tích phân ∫ 0 π 2 ( ( f ( x ) ) 2 - f ( x ) ) d x bằng
A. π 4 +1
B. π 8
C. 3 π 8
D. 1- π 4