Cho tứ diện ABCD có (ABC) vuông góc với (DBC), hai tam giác ABC, DBC là tam giác đều cạnh a. Gọi (S) là mặt cầu đi qua B, c và tiếp xúc với đường thẳng AD tại A. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
A. R = a 6
B. R = a 6 3
C. R = a 6 5
D. R = a 3
Cho tứ diện ABCD có (ABC) vuông góc với (DBC), hai tam giác ABC, DBC là tam giác đều cạnh a. Gọi (S) là mặt cầu đi qua B, c và tiếp xúc với đường thẳng AD tại A. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
A. R = a 5
B. R = a 6 3
C. R = a 6 5
C. R = a 3
Cho tứ diện ABCD có (ABC) vuông góc với (DBC), hai tam giác ABC, DBC là tam giác đều cạnh a. Gọi (S) là mặt cầu đi qua B, c và tiếp xúc với đường thẳng AD tại A. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
Cho tứ diện ABCD có (ABC) vuông góc với (DBC), hai tam giác ABC, DBC là các tam giác đều cạnh a. Gọi (S) là mặt cầu đi qua B, C và tiêp xúc với đường thẳng AD tại A. Bán kính R của mặt cầu (S) bằng
A. R = a 6
B. R = a 6 3
C. R = a 6 5
D. R = a 3
Cho tứ diện ABCD có (ABC) vuông góc với (DBC), hai tam giác ABC, DBC là các tam giác đều cạnh a. Gọi (S) là mặt cầu đi qua B, C và tiêp xúc với đường thẳng AD tại A. Bán kính R của mặt cầu (S) bằng
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.
Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30 ° thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc ∠ SCA. Thực vậy vì SA ⊥ (ABC) mà AC ⊥ CB nên ta có SC ⊥ CB. Do đó ∠SCA = 30 ° .
Vì AB = 2a nên ta có AC = a 2 ta suy ra
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi ∠ SCA = 30 °
Ta có r = SB/2 = OA = OB = OC = OS, trong đó SB 2 = SA 2 + AB 2
Vậy
Do đó
Ta suy ra
Hình tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là tam giác đều cạnh a, góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC) bằng 45 độ. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Gọi E là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE\perp BC\\DE\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(ADE\right)\)
Trong tam giác cân ADE (cân tại E), kẻ \(DH\perp AE\Rightarrow DH\perp\left(ABC\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=45^0\Rightarrow\Delta ADE\) vuông cân tại E
Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm ABC và BCD. Trong mp (ADE), qua G kẻ đường thẳng d song song DE, qua G' kẻ d' song song AE. Gọi O là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Ta có: \(AE=DE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(AG=\dfrac{2}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) ; \(OG=OG'=\dfrac{1}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(R=OA=\sqrt{AG^2+OG^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)
Cho tứ diện ABCD có A B = A C = 2 , B C = 2 , D B = D C = 3 , góc giữa hai mặt phẳng A B C và D B C bằng 45 ° . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng D B C sao cho H và D nằm về hai phía của BC. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD.
A. S = 5 π
B. S = 5 π 4
C. S = 5 π 8
D. S = 5 π 16
Chọn A
Phương pháp:
Cách giải:
Mà AH vuông góc (BCD) nên AH là trục của mặt phẳng (BCD).
Gọi K là trung điểm AD, kẻ OK vuông góc với AD, O thuộc AH
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là những tam giác đều cạnh bằng 1, A D = 2 . Gọi O là trung điểm cạnh AD. Xét hai khẳng định sau:
( I ) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
( I I ) O . A B C là hình chóp tam giác đều.
Hãy chọn khẳng định đúng
A. Chỉ (II) đúng
B. Cả (I) và (II) đều sai
C. Cả (I) và (II) đều đúng
D. Chỉ (I) đúng
Đáp án C
Ta có A D 2 = A B 2 + B D 2 = A C 2 + C D 2
⇒ Δ A B D , Δ A C D vuông cân tại B, C
Mà O là trung điểm cạnh A D ⇒ O A = O B − O C
⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Dễ thấy O A = O B − O C và Δ A B C đều cạnh a
⇒ khối chóp O . A B C là hình chóp tam giác đều
Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d , H là trực tâm tam giác SBC. Biết rằng khi điểm S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn (C). Trong số các mặt cầu chứa đường tròn (C) , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là