Em vừa nghĩ ra 2 cách làm bằng kiến thức lớp 7, co check giùm em nhé!

Ta có: \(\widehat{CAD}=90^0-\widehat{DAB}\)

và \(\widehat{CDA}=90^0-\widehat{HAD}\)

Mà \(\widehat{DAB}=\widehat{HAD}\left(gt\right)\Rightarrow AC=DC\)

Tương tự ta có: AB = EB

\(\Rightarrow AB+AC=EB+DC\)

\(=ED+DB+DC=DE+BC\)

\(\Rightarrow DE=AB+AC-BC=3+4-5=2\left(cm\right)\)

Vậy DE = 2 cm

Ta có: \(\Delta\)ABC vuông tại A

=> BC\(^2\)=AB\(^2\)+ AC\(^2\)= 3\(^2\)+ 4\(^2\)=  25 => BC = 5 (cm)

Có: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{25}{144}\)

=> AH = 2,4  (cm)

Có: \(CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{4^2}{5}=3,2\)(cm)

=> BH = 5 - 3,2 = 1,8 ( cm )

AE là phân giác ^CAH => \(\frac{EC}{EH}=\frac{AC}{AH}=\frac{4}{2,4}\) mà EC + EH = CH = 3,2 

=> EC = 2 ( cm ) ; EH = 1,2 ( cm )

AD là phân giác ^BAH  => \(\frac{DH}{DB}=\frac{AH}{AB}=\frac{2,4}{3}\); mà DH + DB = HB = 1,8 

=> DH = 0,8 ( cm ) ; BD = 1( cm )

Vậy DE = DH + HE = 0,8 + 1,2 = 2 ( cm )

a) Xét ΔABI và ΔACI có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AI chung

BI=CI(I là trung điểm của BC)

Do đó: ΔABI=ΔACI(c-c-c)

nên \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC

nên AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)

b) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: IB=IC(I là trung điểm của BC)

nên I nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI là đường trung trực của BC

hay AI\(\perp\)BC(đpcm)

c) Xét ΔIHB vuông tại H và ΔIKC vuông tại K có 

IB=IC(I là trung điểm của BC)

\(\widehat{HBI}=\widehat{KCI}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔIHB=ΔIKC(cạnh huyền-góc nhọn)

nên IH=IK(hai cạnh tương ứng)

d) Xét ΔABI vuông tại I và ΔDCI vuông tại I có

IB=IC(I là trung điểm của BC)

IA=ID(gt)

Do đó: ΔABI=ΔDCI(hai cạnh góc vuông)

nên \(\widehat{ABI}=\widehat{DCI}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ABI}\) và \(\widehat{DCI}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CD(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

a.

Xét tam giác HAI vuông tại H và tam giác KAI vuông tại K:

A1 = A2 (AI là tia phân giác của BAC)

AI là cạnh chung

=> Tam giác HAI = Tam giác KAI (cạnh huyền - góc nhọn)

=> IH = IK (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác IHK cân tại I

b.

AH = AK (Tam giác HAI = Tam giác KAI)

=> Tam giác AHK cân tại A

=> AHK = \(\frac{180-HAK}{2}\) 

mà ABC = \(\frac{180-BAC}{2}\) (Tam giác ABC cân tại A)

=> AHK = ABC mà 2 góc nằm ở vị trí đồng vị

=> HK // BC

c. Gọi M là giao điểm của AI và HK

Xét tam giác AHM và tam giác AKM có:

AH = AK (Tam giác AHI = Tam giác AKI)

A1 = A2 (AI là tia phân giác của BAC)

AM là cạnh chung

=> Tam giác AHM = Tam giác AKM (c.g.c)

=> AMH = AMK (2 góc tương ứng)

mà AMH + AMK = 180 (2 góc kề bù)

=> AMH = AMK = 90

=> AI _I_ HK

a)tự cm tam giác AHI=AKI=> HI=KI=>TAM GIÁC IHK CÂN

b) dễ wa bạn có thể cm

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AB=AC

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

AI chung

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

b: ΔAIB=ΔAIC

=>IB=IC và \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)

mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI\(\perp\)BC

b: Xét ΔAHI vuông tại H và ΔAKI vuông tại K có

AI chung

\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)

Do đó: ΔAHI=ΔAKI

=>IH=IK

c: Xét ΔHIN vuông tại H và ΔKIM vuông tại K có

IH=IK

\(\widehat{HIN}=\widehat{KIM}\)

Do đó: ΔHIN=ΔKIM

=>IN=IM và HN=KM

ΔAHI=ΔAKI

=>AH=AK

AH+HN=AN

AK+KM=AM

mà AH=AK và HN=KM

nên AN=AM

=>A nằm trên đường trung trực của NM(1)

IN=IM(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của MN(2)

PN=PM

=>P nằm trên đường trung trực của MN(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,I,P thẳng hàng

https://hoidap247.com/cau-hoi/111101 bạn có thể tham khảo ở đây nha. Chúc bạn học tốt !!!!!!!