Cho ΔABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy điểm D và E sao cho AD=AE. Qua A và qua D kẻ các đường thẳng vuông góc với BE cắt BC theo thứ tự tại S và T. Chứng minh S là trung điểm của TC.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD. Qua điểm O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh AD, BC lần lượt tại M, N. Trên AB, CD lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AB=CQ. Gọi I là giao điểm của AC và PQ. Chứng minh:
a) Các tứ giác AMNB, APCQ là hình bình hành
b) Ba điểm M, N, I thẳng hàng
c) Ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy
( vẽ hình giúp mink lun nhe ^-^)
a: Xét tứ giác AMNB có
AB//MN
AM//BN
Do đó: AMNB là hình bình hành
Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE.Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng :
a) DM=EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN;
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
a) Xét \(\Delta MDB=\Delta NEC\left(c-g-c\right)\)
=> DM=NE
b) Ta có
\(\Delta MDI\perp D\)=> DMI+MID=90 độ
\(\Delta NEI\perp E\)=> góc ENI+NIE=90 độ
mà MID=NEI đối đỉnh
=> DMI=ENI
\(=>\Delta MDI=\Delta NEI\left(c-g-c\right)\)
=> IM=ỊN
=> BC cắt MN tại I là trung Điểm của MN
c) Gọi H là chân đường zuông góc kẻ từ A xuống BC
=> tam giác AHB = tam giác AHC( ch, cạnh góc zuông )
=> góc HAB= góc HAC
Gọi O là giao điểm của AH zới đường thẳng zuông góc zới MN kẻ từ I
=> tam giác OAB= tam giác OAC (c-g-c)(1)
=> góc OBA = góc OCA ; OC=OB
tam giác OBM= tam giác OCN (c-g-c)
=> góc OBM=góc OCN (2)
từ 1 zà 2 suy ra OCA=OCN =90 độ do OC zuông góc zới AC
=> O luôn cố đinhkj
=> DPCM
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh BC lấy điểm D khác C,sao cho CD<\(\frac{1}{2}\)CB,trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE=CD.Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt các đường thẳng sao AC và AB lần lượt ở K và F. Chứng minh rằng:
a. DK=EF
b. Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I là trung điểm của đoạn thẳng FK.
c. Đường thẳng vuông góc với FK tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
a. tam giác ABC cân tại A --> góc ABC= góc ACB
mà góc ABC = góc EBF (đối đỉnh)
---> góc ACB = góc EBF
Xét tam giác EBF và tam giác DCK
góc FEB= góc KDC= 90o
EB=DC (gt)
góc EBF =góc DCK
---->tam giác EBF = tam giác DCK(g.c.g)
b. có EF//DK ( do cùng vuông góc BC)
----> góc EFK = góc DKF ( so le trong)
Xét tam giác IEF và tam giác IDK
góc IEF= góc IDK=90o
EF=DK ( câu a)
góc EFI = góc DKI
---> tam giác IEF = tam giác IDK( g.c.g)
----> IF=IK
Cho hình chữ nhật ABCD trên cạnh AD,BC lần lượt lấy M,N sao cho AM=CN
cmBM song song với DN
gọi O là trung điểm của BD.cmAC,BD,MN đồng quy tại O
qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với PQ và đường thẳng qua Q song song với BD cắt nhau tại K.,cm AC vuông góc với CK
Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E,F,G,H lần lượt trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho AE=BF=CG=DH.Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
a,C/m F,O,H thẳng hàng
b,C/m bốn điểm E,F,G,H thuộc một đường tròn
a nối FO cắt AD ở K ta có: vì BF // KD và OB=OD => dễ dàng cm đc : tam giác OKD=tam giác OFB => BF=DK mà BF=HD=> H và K trùng nhau => F,O,H thẳng hàng
b dễ dàng chứng minh đc E,O,G cũng thẳng hàng => OE=OG và từ câu a => OF=OH
xét tam giác OEA và tam giác: OFB có góc OBF = góc OAE (gt)
OB=OA,BF=AE
=> tam giác OEA=tam giác OFB (cgc) => OE=OF
=> OE=OF=OH=OG=> E,F,G,H thuộc đường tròn tâm O bán kính OE
Cho hình vuông ABCD cạnh ạ . Trên cạnh BC lấy điểm M , cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MAN = 45 độ . Gọi giao điểm của BD với AM,AN lần lượt tại P, Q . c/m :
a. các tứ gaisc ABMQ , ADNP nội tiếp
b. Gọi H là giao điểm của MQ và NP . c/m : AH vuông góc MN
c. Khi M,N thay đổi thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định
d. Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích tứ gíac MNPQ nhỏ nhất
Cho hình vuông ABCD,trên cạnh AE lấy điểm E và trên cạnh AE lấy điểm F sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc với BF(H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại 2 điểm M,N.
a) CMR tứ giác AEMD là hình chữ nhật
b) biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng: AC= 2EF
c)CMR:\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)
Ey sao trên cạnh AE lấy điểm E? Vậy E từ đâu ra? -tth-
Cho tam giác ABC cân tại A, lấy M bất kì thuộc cạnh AB. Trên tia đối tia CA lấy N sao cho CN=BM. Vẽ ME và NE lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC. Trên AC lấy diểm D sao cho CD=CN.
a, Chứng minh: IE=IF
b, Chứng minh: tứ giác BMDC là hình thang cân
