Phương pháp:

Sử dụng công thức 

Cách giải:

Ta có 

Chọn D.

\(\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{A'N}=\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}\right)\left(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'N}\right)\)

\(=\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{B'N}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B'N}\)

( chứng minh được \(DA\perp A'B',AM\perp B'N\) )

\(=0+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C'B'}.\left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{C'B'}\right)+0\)

\(=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{2}C'B'^2=0\)

Suy ra \(DM\perp A'N\)

Ý A

Chọn A

Chọn B

Gọi M là trung điểm BB'. Ta có: CK // A'M => CK // (A'MD)

Khi đó d(CK, A'D) = d (CK, (A'MD)). Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ: 

Ta có: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C(a;a;0), M(a;0;a/2).

Vậy mặt phẳng (A'MD) nhận  làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình (A'MD) là x + 2y + 2z - 2a = 0

Do đó: 

Chọn đáp án C.

Gọi P là trung điểm cạnh A'D' khi đó BD//NP.

Khi đó góc giữa 

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a nên 

Suy ra 

Do đó tam giác MNP đều 

Chọn D.

Gọi P là trung điểm BB’. Ta có BD//PN => BD//(MPN). Do đó:

d(MN;BD) = d(BD;(MPN)) = d(B;(MPN))

Nhận thấy  nên tam giác MPN vuông tại M.

Do đó 

Ta có 

Cách 2:

Gọi P là trung điểm BB’. Ta có BD//PN => BD//(MPN).

Đồng thời, MP//CB', PN//B'D' => (MPN)//(CB'D')

Do đó 

(vì PC’ cắt B’C tại trọng tâm tam giác BB’C’).

Nhận thấy tứ diện C'.CB'D' là tứ diện vuông tại C' nên 

Vậy 

Cách 3: Tọa độ hóa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, 

Đáp án là D

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:  B 1  là gốc tọa độ,  B 1 A 1 → = i → , B 1 C 1 → = j → ,   B 1 B → = k → . Trong hệ trục vừa chọn, ta có  B 1 (0; 0; 0), B(0; 0; 1),  A 1 (1; 0; 0),  D 1 (1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1),  C 1 (0; 1; 0).

Suy ra M(0; 0; 1/2), P(1; 1/2; 0), N(1/2; 1; 1)

Ta có  MP →  = (1; 1/2; −1/2);  C 1 N →  = (1/2; 0; 1)

Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa  C 1 N  và song song với MP. ( α ) có vecto pháp tuyến là  n →  = (1/2; −5/4; −14) hay  n ' →  = (2; −5; −1)

Phương trình của ( α ) là 2x – 5(y – 1) – z = 0 hay 2x – 5y – z + 5 = 0

Ta có:

d(MP, C 1 N) = d(M,( α )) 

Ta có:

Vậy ∠ (MP, C 1 N) = 90 ° .

Chọn D.

Phương pháp: Phương pháp tọa độ.

Cách giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, chọn a = 1