Số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A (có 18 phần tử)

\(C_{18}^k\left(k=1,.....,18\right)\)

Để tìm max \(C_{18}^k,k\in\left\{1,2,.....,18\right\}\) (*), ta tiến hành giải bất phương trình sau :

\(\frac{C_{18}^k}{C_{18}^{k+1}}< 1\)

\(\Leftrightarrow C_{18}^k< C_{18}^{k+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{18!}{\left(18-k\right)!k!}< \frac{18!}{\left(17-k\right)!\left(k+1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\left(18-k\right)!k!>\left(17-k\right)!\left(k+1\right)!\)

\(\Leftrightarrow17>2k\)

\(\Leftrightarrow k< \frac{17}{2}\)

Điều kiện (*) nên k = 1,2,3,.....8

Suy ra \(\frac{C_{18}^k}{C_{18}^{k+1}}>1\) khi k = 9,10,...,17

Vậy ta có 

\(C^1_{18}< C_{18}^2< C_{18}^3< .........C_{18}^8< C_{18}^9>C_{18}^{10}>.....>C_{18}^{18}\)

Vậy \(C_{18}^k\) đạt giá trị lớn nhất khi k = 9. Như thế số tập hợp con gồm 9 phần tử của A là số tập hợp con lớn nhất.

Đáp án D

Số tập con của A có 8 phần tử C n 8

và số tập của A có 4 phần tử là  C n 4

⇒ 26 = C n 8 C n 4 = ( n - 7 ) ( n - 5 ) ( n - 4 ) 1680

⇔ n = 20

Số tập con gồm k phần tử là  C 20 k

Khi xảy ra  C 20 k > C 20 k + 1

Vậy với k = 10 thì C 20 k đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án D

Ta có:

  C n 8 = 26 C n 4 ⇔ n ! 8 ! n − 8 ! = 26 n ! 4 ! n − 4 ⇔ n − 7 n − 6 n − 5 n − 4 = 13 .14.15.16 ⇔ n − 7 = 13 ⇔ n = 20

Số tập con gồm k phần tử của A là: C 20 k ⇒ k = 10  thì C 20 k nhỏ nhất.

Đáp án D

Số tập con của A có 8 phần tử C n 8  và số tập của A có 4 phần tử là  C n 4

⇒ 26 = C n 8 C n 4 = 4 ! n − 4 ! 8 ! n − 8 ! = n − 7 n − 5 n − 4 1680 ⇔ n = 20.

Số tập con gồm k phần tử là C 20 k .

Khi xảy ra

C 20 k > C 20 k + 1 ⇔ 20 ! k ! 20 − k ! > 20 ! k + 1 ! 19 − k ! ⇔ k + 1 > 20 − k ⇔ k > 9 , 5

Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất

Số tập con 4 phần tử bằng 20 lần số tập con 2 phần tử

\(\Rightarrow C_n^4=20C_n^2\) \(\Rightarrow n=18\)

Số tập con gồm k phần tử: \(C_{18}^k\)

Để số tập con gồm k phần tử đạt max:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}C_{18}^k\ge C_{18}^{k+1}\\C_{18}^k\ge C_{18}^{k-1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{18!}{\left(18-k\right)!.k!}\ge\frac{18!}{\left(17-k\right)!\left(k+1\right)!}\\\frac{18!}{\left(18-k\right)!k!}\ge\frac{18!}{\left(19-k\right)!\left(k-1\right)!}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+1\ge18-k\\19-k\ge k\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k=9\)

C n 1 ; C n 2 ; C n 3  lần lượt là số các tập con của A gồm 1;3;5… phần tử. Ta luôn có 

C n 0 + C n 1 + . . + C n n = 2 n ⇒ C n 0 + C n 1 + . . . = 2 n - 1

Từ giả thiết ta có phương trình:

2 n - 1 = 16 n ⇔ 2 n - 5 = n

Vì n > 4 nên ta xét n = 5 thấy không thỏa (*), do đó ta xét n ≥ 6 ; n ∈ ℤ

Xét hàm số f x = 2 x - 5 - x  liên tục trên nửa khoảng  [ 6 ; + ∞ ) , x ∈ ℤ .

Ta có f ' x = 2 x - 5 ln 2 - 1 > 0 ; ∀ x ≥ 6 ⇒ f x  liên tục và đồng biến trên nửa khoảng [ 6 ; + ∞ ) , x ∈ ℤ  và f(8) = 0 nên x = 8 là nghiệm duy nhất của phương trình.  2 x - 5 - x = 0 ; x ≥ 6 . Vậy n = 8 thỏa mãn đề bài.

Đáp án A