Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2) 
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1) 
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1] 
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2) 
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2) 
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N) 
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1) 
Suy ra A chia hết cho 8 
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N) 
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) 
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) 
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp 
Suy ra A chia hết cho 8 
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N 
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72. 
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1). 
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72. 
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Chép hả Lý

Ta có n⁶ + n⁴ – 2n²

= n² ( n⁴ +n² – 2)

=n² (n⁴ -1 + n² -1 )

= n² [ (n² -1)(n² +1) +(n² -1)]

= n² (n-1)(n+1)(n² +2)

+Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1

n⁶ + n⁴ – 2n²  ⋮  8

+Xét các trường hợp n = 3a, n=3a ± 1

n⁶ + n⁴ – 2n² ⋮ 9

vậy n⁶ + n⁴ – 2n² ⋮ 72 với mọi số nguyên n

Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2) 
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1) 
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1] 
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2) 
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2) 
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N) 
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1) 
Suy ra A chia hết cho 8 
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N) 
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) 
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) 
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp 
Suy ra A chia hết cho 8 
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N 
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72. 
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1). 
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72. 
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Ta có:

\(A=n^6+n^4-2n^2=n^2\left(n^4+n^2-2\right)=n^2\left(n^4+2n^2-n^2-2\right)=n^2\left[n^2\left(n^2+2\right)-\left(n^2+2\right)\right]=n^2\left(n^2+2\right)\left(n^2-1\right)\)

Lại có:  \(72=8.9\)

Mà  \(\left(8,9\right)=1\)  nên ta xét các trường hợp:

+  Với  \(n=2k\)  thì  \(A=\left(2k^2\right)\left(4k^2+2\right)\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)=8k^2\left(2k^2+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)\)  chia hết cho  \(8\)

+  Với  \(n=2k+1\)  thì  \(A=\left(2k+1\right)^2\left[\left(2k+1\right)^2+2\right]\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)^2\left(4k^2+4k+3\right)\)  chia hết cho \(8\)    

Tương tự xét các trường hợp  \(n=3q\) \(,\) \(n=3q+1\)\(,\)\(n=3q-1\) để chứng minh  \(A\)  chia hết cho  \(9\)

Vậy,   \(A\) chia hết cho  \(8.9\)  hay  \(A\)  chia hết cho  \(72\)

a) \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n⋮5\curlyvee n\)

b) \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=n^2+4n-n-4-n^2-n+4n-4=6n-8\curlyvee n\)

a)

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\\ =n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)\\ =n\left(2n-3-2n-2\right)\\ =-5n⋮5\)

Bài 8:

a) Ta có: \(2^9-1=\left(2^3-1\right)\cdot\left(2^6+2^3+1\right)\)

\(=7\cdot\left(64+8+1\right)=7\cdot73⋮73\)(đpcm)

b) Ta có: \(5^6-10^4=5^4\cdot5^2-5^4\cdot2^4=5^4\left(5^2-2^4\right)\)

\(=5^4\left(25-16\right)=5^4\cdot9⋮9\)(đpcm)

c) Ta có: \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)

\(=4\cdot\left(2n+2\right)=4\cdot2\cdot\left(n+1\right)=8\left(n+1\right)⋮8\)(đpcm)

d) Ta có: \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12\cdot2n=24n⋮24\)(đpcm)