a: Xét (O) có

MC là tiếp tuyến

MA là tiếp tuyến

Do đó: MC=MA

Xét (O) có

NB là tiếp tuyến

NC là tiếp tuyến

Do đó: NB=NC

Ta có: MN=MC+CN

nên MN=MA+NB

Vì M,N là giao 2 tiếp tuyến nên \(AM=MC;BN=ND\)

Lại có \(OA=OB=OC=R\) nên OM,ON lần lượt là trung trực của tam giác OAC và OBC cân tại O

Do đó OM,ON cũng là phân giác của \(\widehat{AOC};\widehat{COB}\)

Vậy \(\widehat{MON}=\widehat{MOC}+\widehat{CON}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOC}+\widehat{COB}\right)=90^0\) (kề bù)

a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy ΔMON vuông tại O.

Góc  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên  = 900

Tứ giác AOPM có:

Suy ra, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn.

Xét ∆ MON và ∆ APB có:

=> Hai tam giác MON và APB đồng dạng

b)

* Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP nên

OP2 = MP. NP (1)

* Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

MA= MP và NB = NP (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OP2 = MA. NB hay R2 = MA. NB ( đpcm)

c) * Theo a, ∆MON và APB đồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là:

d) Nửa hình tròn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R.

nên thể tích khối cầu tạo ra là: 

a) CE và EB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

⇒ EC = EB và CB ⊥ OE

Tương tự, DC và DA là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D

⇒ DC = DA và AC ⊥ OD

Khi đó: AD + BE = DC + EC = DE

b) Gọi I là tâm của đường tròn đường kính CD.

Tứ giác CABD là hình thang vuông (AC ⊥ AB;BD ⊥ AB) có OI là đường trung bình

⇒ OI // AC ; mà AC ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB tại O

Vậy AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

a, Sử dụng các tứ giác nội tiếp chứng minh được  P M O ^ = P A O ^  và  P N O ^ = P B O ^ => ∆MON và ∆APB đồng dạng (g.g)

b, Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MP = MA và NP = NB

Mặt khác MP.NP = P O 2  và PO = R Þ AM.BN = R 2  (ĐPCM)

c, Ta có  A M = R 2 => M P = R 2

Mặt khác  A M = R 2 => BN = 2R => PN = 2R

Từ đó tìm được MN =  5 R 2

Vì DMON và DAPB đồng dạng nên  S M O N S A P B = M N A B 2 = 25 16

d, Khi quay nửa đường tròn đường kính AB xung quanh AB ta được hình cầu với tâm O và bán kính R' = OA = R

Thể tích hình cầu đó là V =  4 3 πR 3 (đvdt)