Vì -2 < 3 nên m – 2 < 3 + m

Ta có: m - 1 2   ≥  0;  n - 1 2   ≥  0

       ⇒  m - 1 2  +  n - 1 2   ≥  0

       ⇔  m 2  – 2m + 1 + n 2  – 2n + 1  ≥  0

       ⇔  m 2  +  n 2  + 2  ≥  2(m + n)

Ta có:  m + 1 2   ≥  0

       ⇔ m - 1 2  + 4m  ≥  4m

      ⇔ m 2  – 2m + 1 + 4m  ≥  4m

       ⇔  m 2  + 2m + 1  ≥  4m

      ⇔  m + 1 2   ≥  4m

1 < 2 \(\Rightarrow\)1+m < 2+m

-2 < 3 \(\Rightarrow\)m-2 < 3+m

a. Ta có:

\(\left(m+1\right)^2\)\(=m^2+2m+1\)

\(\left(m+1\right)^2\ge4m\Leftrightarrow m^2+2m+1\ge4m\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall\) m)

Vậy \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)

b. \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)

Ta có:

\(\left(m^2+1\right)^2\ge4m^2\) \(\Rightarrow m^2+1\ge2m\)

\(\left(n^2+1\right)^2\ge4n^2\Rightarrow n^2+1\ge2n\)

a ) \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1\ge4m\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+2m+1\right)-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (ĐPCM)

b ) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng) |(ĐPCM)

(+) Chứng minh chiều thuận
Theo đề ra ta có 2 số thõa mãn là \(\begin{cases}km+x\\lm+x\end{cases}\) ( với k ; l ; m là số nguyên )

Xét hiệu :

\(\left(km+x\right)-\left(lm+x\right)=km-lm=m\left(k-l\right)⋮m\)

(+) Chứng minh chiều đảo :

Ta sẽ c/m bằng phương pháp phản chứng .

Giả sử a - b chia hết cho m ( 1 ) nhưng a và b không có cùng số dư khi chia cho m 

\(\Rightarrow\begin{cases}a=mk+x\\b=ml+y\end{cases}\)\(\left(k;m;x;y\in N;x,y< m;x\ne y\right)\)

=> Hiệu \(a-b=\left(mk+x\right)-\left(lk+y\right)\)

\(\Rightarrow a-b=m\left(lk-l\right)+\left(x-y\right)\)

Xét m(k - l ) chia hết cho m

x ; y < m

=> x - y < m

=> x - y không chia hết cho m

\(\Rightarrow m\left(lk-l\right)+\left(x-y\right)⋮̸m\) ( 2 )

(1) và (2) mâu thuẫn

=> Giả sử sai

=> Đpcm

Gia su :a÷m du r,b÷m cung du r ta co:

a=m×n+r

b=m×p+r

a-b=m×n+r-m×p+r=m×n-m×p=m×(n-p)

Trong do m chia het cho m nen khi nhan voi n-p se duoc 1 so chia het cho m.

lam chuyen

Gọi 2 số đó là a , b ( a , b ≠ 0 ; A , B ∈ N )

Ta có : a ⋮ m => a = m.q ( q ≠ 0 ; q ∈ N )

            b ⋮ m => b = m.p ( p ≠ 0 ; p ∈ N )

=> a - b = m.q - m.p = m( q - p ) 

Vì m ⋮ m => m ( q - p ) ⋮ m => a - b ⋮ m 

=> đpcm