Đáp án A

\(2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}\right)+3\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB}\right)+\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}\right)=6\overrightarrow{MK}\)

Mà theo giả thiết thì ta có \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MK}\Rightarrow\overrightarrow{MN}=6\overrightarrow{MK}\)

Từ đó suy ra M,N,K thẳng hàng. Mặt khác \(\left|\overrightarrow{MN}\right|=6\left|\overrightarrow{MK}\right|\) nên ta dễ thấy N cố định (Vì K cố định).

* Ta có:

M C → = 3 M B → ⇔ M C → = 3 ( M C → + ​ C B → ) ⇔ − 2 M C → = 3 C B → ⇔ C B → = − 2 3 M C → ⇔ B C → = 2 3 M C →   

*  N A → = − 2 N B → ⇔ N A ​ → = − 2 ( N A → + ​ A B → ) ⇔ 3 N A → = − 2 A B → ⇔ A B → = − 3 2 N A →  

 Do đó,

A P → = x . A C → = x . A B → + ​ B C → = x . − 3 2 N A → + ​ 2 3 M C → = − 3 2 x N A → + ​​  ​ 2 3 x M C → = 3 2 x A N → + ​​  ​ 2 3 x ( A C → − A M ​ → ) = 3 2 x A N → + ​​  ​ 2 3 x . ( 1 x . A P → − A M ​ → ) = 3 2 x A N → + ​​  2 3 . A P → − 2 3 x A M ​ →

  ⇔ 1 3 A P → = 3 2 x A N → − 2 3 x A M ​ → ⇔ A P → = 9 2 x A N → − 2 x A M ​ →

Để ba điểm M; N;  P thẳng hàng thì

9 2 x − 2 x = 1 ⇔ 5 2 x = 1 ⇔ x = 2 5

Đáp án A