cho 3 số nguyên a,b,c biết rằng
a+b+c>0
ab+bc+ca>0
a.b.c>0
chứng minh rằng a,b,c thuộc tập hợp N*
* Cho a,b,c≥0
Chứng minh rằng a+b+c≥\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow 2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a \ge 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2 \ge 0$ luôn đúng với $a,b,c \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Ta có: \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2};\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2};\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{2}\)\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
1.Chứng minh rằng với n thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 , các phân số sau là các phân số tối giản :
a) 3n-2/4n-3
b) 4n+1/6n+1
2.Cho B=n/n-4
Tìm n thuộc tập hợp các số nguyên để B có giá trị nguyên
3.Cho C=2n+7/n+3
Tìm n thuộc tập hợp các số nguyên để C có giá trị nguyên
Lưu ý : Các bạn giải giúp mình ghi rõ cách giải ra nhé
Cho các số thực a,b,c.Chứng minh rằng
a,\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\))
b,\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\)3abc(a+b+c)
a.
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+c^2a^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (đúng theo câu a đã chứng minh)
Cho a,b,c,d thuộc tập hợp N*
Chứng tỏ rằng"
M= [a/(a+b+c)] + [b/(a+b+d)] + [c/(b+c+d)] + [d/(a+c+d)] có giá trị không là số nguyên
cho f(x)=ax^2+bx+c
a;b;c thuộc tập hợp số nguyên ; biết f(x) chia hết cho 3
Chứng minh a;b;c chia hết cho 3
Cho 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng P= (ab+c)(bc+a)(ca+b) là số chính phương
Gợi ý cách giải: Thế a = 1 - b - c vào P sau đó phân tích số chính phương là ra
Cho 3 số nguyên a,b,c biết:
a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0
CMR: a;b;c thuộc N*
Biết a, b,c là 3 số tự nhiên đôi một nguyên tố cung nhau. Chứng minh rằng ab+bc+ca; a+b+c và số abc cũng nguyên tố cùng nhau.
giả sử abc và ab+bc+ca không nguyên tố cùng nhau
=> tồn tại d là số nguyên tố và d là ước chung của abc và ab+bc+ca
abc chia hết cho d mà a,b,c nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên có 3 TH:
TH1: a chia hết cho d => ab,ac chia hết cho d
mà ab+bc+ca chia hết cho d
=> bc chia hết cho d => b hoặc c chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau)
TH2: b chia hết cho d => ba,bc chia hết cho d
mà ab+bc+ca chia hết cho d
=> ac chia hết cho d => a hoặc c chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau)
TH3: c chia hết cho d => ca,cb chia hết cho d
mà ab+bc+ca chia hết cho d
=> ab chia hết cho d => a hoặc b chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau)
vậy: giả thiết đưa ra là sai
kết luận: abc và ab+bc+ca nguyên tố cùng nhau
Biết a, b,c là 3 số tự nhiên đôi một nguyên tố cung nhau. Chứng minh rằng ab+bc+ca; a+b+c và số abc cũng nguyên tố cùng nhau.
c chia hết cho d => ca,cb chia hết cho d
mà ab+bc+ca chia hết cho d
=> ab chia hết cho d => a hoặc b chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau)
vậy: giả thiết đưa ra là sai
kết luận: abc và ab+bc+ca nguyên tố cùng nhau