a,+) Từ A vẽ AH _|_ (BCD) (theo giả thiết AB = AC = AD)

Nên \(\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\)

=> HB = HC = HD

Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

+) Ta có: \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}\) với \(BH=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{3a^2}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

b, Ta có: \(H=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Diện tích xung quanh hình trụ là:

\(S_{xq}=2\pi rh=2\pi.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\pi\pi^2\sqrt{2}}{3}\)

Thể tích khối trụ là:

\(V=\pi r^2h=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Thể tích của khối trụ là;

Đáp án C

Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có:

Từ đó ta có:

Vậy đáp án C đúng.

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}\)

Với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) (như trong hình vẽ)

Do hình chóp đã cho là hình chóp đều, nên H là trọng tâm của tam giác BCD, do đó :

\(\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Suy ra \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Vậy : \(\overrightarrow{OB}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{5b}-\overrightarrow{c}\right)\) Và  \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)

Từ đó : 

\(36.\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=\left(-\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)

                    \(=\overrightarrow{a^2}^{ }+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }+25\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c^2}\)

                    \(=\overrightarrow{a^2}-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+26\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}-4\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }-5\overrightarrow{c^2}\)

                   \(=a^2-2a^2+13a^2-2a^2-10a^2=0\)

Suy ra \(OB\perp OC\)

Chứng minh tương tự ta cũng được \(OC\perp OD,OD\perp OB\)

a) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

AI ⊥ BC

+) Tương tự, tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

DI ⊥ BC

+) Ta có: 

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔBCD vuông tại C có

góc ABH=góc BDC

=>ΔAHB đồng dạng với ΔBCD

b: BD=căn 9^2+12^2=15cm

AH=9*12/15=108/15=7,2cm
c: Xét ΔHAD có HN/HA=HP/HD

nên NP//AD và NP=AD/2

=>NP//BC và NP=BC/2

=>NP//BM và NP=BM

=>BNPM là hình bình hành

Đáp án A

Bán kính đáy của hình nón bằng bán kính ngoại tiếp đáy

Chiều cao nón bằng chiều cao của tứ diện

Vậy