a) Ta có:

Gọi K là trung điểm của AD ta có CK = AB = AD/2 nên tam giác ACD vuông tại C

Ta có:

b) Trong mặt phẳng (SAC) vẽ AC’ ⊥ SC và trong mặt phẳng (SAD) vẽ AD’ ⊥ SD

Ta có AC’⊥ CD (vì CD ⊥ (SAC))

Và AC’ ⊥ SC nên suy ra AC’ ⊥ (SCD) ⇒ AC’ ⊥ SD

Ta lại có AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ SD

Ba đường thẳng AD’, AC’ và AB cùng đi qua điểm A và vuông góc với SD nên cùng nằm trong mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SD

c) Ta có C’D’ là giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SCD). Do đó khi S di động trên tia Ax thì C’D’ luôn luôn đi qua một điểm cố định là giao điểm của AB và CD

AB ⊂ (α), CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (α) ∩ (SCD) = C’D’

Đáp án D

Gọi M, E là trung điểm của AI và CD

Kẻ S H ⊥ C D  do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) nên S H ⊥ ( A B C D ) . Mặt khác SA=SI 

⇒ S M ⊥ A I ⇒ A I ⊥ ( S H M ) ⇒ H K ⊥ ( S A I )  mà CD

Song song với (SAB) ⇒ H K  là khoảng cách cần tìm.

Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F

⇒ H B = a 3 ;   S H = H B . tan 30 o = a 3 . 1 3 = a

Ta có 1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H M 2 = 1 a 2 + 4 3 a 2 = 7 3 a 2

⇒ H K = a 21 7

Gọi M; E là trung điểm của AI và CD 

Kẻ S H ⊥ C D do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng(ABCD) nên S H ⊥ A B C D . Mặt khác SA = SI

⇒ S M ⊥ A I ⇒ A I ⊥ S H M ⇒ H K ⊥ S A I

mà CD . Song song với S A B ⇒ H K là khoảng cách cần tìm. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F

⇒ E F = a 13 4 ; F I = a 4 ⇒ H M = a 3 2 ⇒ H B = a 3 S H = H B . tan 30 o = a 3 . 1 3 = a

 Ta có

1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H M 2 = 1 a 2 + 4 3 a 2 = 7 3 a 2 ⇒ H K = a 21 7

Đáp án cần chọn là D

Đáp án D

Đáp án A

Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông  góc với giao tuyến.

Cách giải:

Kẻ IH ⊥ CD ta có: 

Ta có: 

Gọi E là trung điểm của AB => EC = AD = 2a

Đáp án A

Gọi φ  là góc giữa SC và (SAD), N là giao điểm của HM và AD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SN, I là giao điểm của HC với AD. Gọi E là điểm đối xứng với I qua K.

Ta có  M B = 1 4 B C = a 2 , H B = a , H B M ^ = B A D ^ = 60 °

⇒ H M = H B 2 + M B 2 − 2 H B . M B . c o s H B M ^

⇒ H M = a 2 + a 2 4 − 2 a . a 2 . cos 60 ° = 3 2 a

⇒ H M 2 + M B 2 = 3 2 a 2 + a 2 2 = a 2 = H B 2

  ⇒ Δ H M B vuông tại M

  ⇒ H M ⊥ M B hay M N ⊥ B C .

Vì  S H ⊥ A D do  S H ⊥ A B C D M N ⊥ A D do  M N ⊥ B C ⇒ A D ⊥ S M N ⇒ A D ⊥ H K , mà H K ⊥ S N  nên H K ⊥ S A D . Lại có HK là đường trung bình của Δ I C E  nên H K // C E . Suy ra C E ⊥ S A D  tại E và SE là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Vậy φ = S C , S A D ^ = S C , S E ^ = C S E ^ .

Đặt  S H = x , x > 0   . Do Δ S H N  vuông tại H có HK là đường cao nên ta có

1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H N 2 ⇒ H K = S H . H N S H 2 + H N 2 = 3 a x 4 x 2 + 3 a 2 ⇒ C E = 2 H K = 2 3 a x 4 x 2 + 3 a 2

Do Δ S H C  vuông tại H nên

S C = S H 2 + H C 2 = S H 2 + H M 2 + M C 2 = x 2 + 3 2 a 2 + 5 a 2 2 = x 2 + 7 a 2

  Δ S E C vuông tại E nên  sin φ = sin C S E ^ = E C S C = 2 3 a x 4 x 2 + 3 a 2 x 2 + 7 a 2

⇒ sin φ = 2 3 a x 4 x 4 + 21 a 4 + 31 a 2 x 2 ≤ 2 3 a x 4 21 a 2 x 2 + 31 a 2 x 2 = 2 3 4 21 + 31

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4 x 4 = 21 a 4 ⇔ x 4 = 21 4 a 4 ⇔ x = 21 4 4 a .

Vậy góc φ  đạt lớn nhất khi   sin φ đạt lớn nhất, khi đó  S H = 21 4 4 a

Xét mặt phẳng đáy (ABCD) là hình thang cân. Kéo dài AC cắt BD tại I ta thu được tam giác đều ICD. 

Do đó AD và BC đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác ICD. Suy ra O là trọng tâm của tam giác ICD (Với O là giao của AD và BC)

Ta có: \(AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}\)

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và có giao tuyến là SO. Do đó SO vuông góc với (ABCD)

Xét tam giác SOB vuông tại O ta có: 

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Ta có: \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{4}.S_{ICD}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{AD.CI}{2}=\dfrac{3}{8}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{15}}{3}a.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{\sqrt{5}}{4}a^3\)