a) Ta có: \(BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 25 - BD\)

Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{25 - BD}} = \frac{{15}}{{20}} \Leftrightarrow 20.BD = 15.\left( {25 - BD} \right) \Rightarrow 20.BD = 375 - 15.BD\)

\( \Leftrightarrow 20BD + 15BD = 375 \Leftrightarrow 35BD = 375 \Rightarrow BD = \frac{{375}}{{35}} = \frac{{75}}{7}\)

\( \Rightarrow DC = 25 - \frac{{75}}{7} = \frac{{100}}{7}\)

Vậy \(BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm\).

 Vì \(DE//AB\) nên \(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{25}} = \frac{{DE}}{{15}} \Leftrightarrow DE = \frac{{100}}{7}.15:25 = \frac{{60}}{7}\) (hệ quả của định lí Thales).

Vậy \(BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm;DE = \frac{{60}}{7}cm\).

b) Xét tam giác \(ABC\) có:

\(B{C^2} = {25^2} = 625;A{C^2} = {20^2} = 400;A{B^2} = {15^2} = 225\)

\( \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\)

Do đó, tam giác\(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\).

c) Diện tích tam giác \(ABC\) là

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.15.20 = 150\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét tam giác \(ADB\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{\frac{{75}}{7}}}{{25}} = \frac{3}{7}\) và có chung chiều cao hạ từ đỉnh \(A\). Do đó, diện tích tam giác \(ADB\) bằng \(\frac{3}{7}\) diện tích tam giác \(ABC\).

Diện tích tam giác \(ADB\) là:

\({S_{ADB}} = 150.\frac{3}{7} = \frac{{450}}{7}\left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích tam giác \(ACD\) là:

\({S_{ACD}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 150 - \frac{{450}}{7} = \frac{{600}}{7}\)

Vì \(ED//AB \Rightarrow \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{\frac{{75}}{{100}}}} = \frac{4}{3}\)

Xét tam giác \(ADE\) và tam giác \(DCE\) ta có:

\(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{4}{3}\) và hai tam giác này có chung đường cao hạ từ \(D\).

Do đó, \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DCE}}}} = \frac{4}{3}\).

Diện tích tam giác \(ADE\) là

\({S_{ADE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).4 = \frac{{2400}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)\)

\({S_{DCE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).3 = \frac{{1800}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)\).

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên DB/AB=DC/AC

=>DB/3=DC/4=(DB+DC)/(3+4)=25/7

=>DB=75/7cm; DC=100/7cm

Xét ΔABC có DE//AB

nên DE/AB=CD/CB

=>DE/15=100/7:25=4/7

=>DE=60/7cm

b: Xét ΔABC có BC^2=AB^2+AC^2

nen ΔABC vuông tại A

=>S ABC=1/2*15*20=10*15=150cm²

c: DB/DC=3/7

=>S ABD/S ACB=3/7

=>S ABD=150*3/7=450/7cm²

Hình tự vẽ lấy nhé

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của:

\(\Rightarrow\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

Mà AB = 15cm và AC = 20cm ( gt )

Nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}\)

\(\Rightarrow\frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\)( Tính chất tỉ lệ thức đã học ở lớp 7 )

\(\Rightarrow\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}\Rightarrow DB=\frac{15}{35}.BC=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}\left(cm\right)\)

b) Kẻ \(AH\perp BC\)

Ta có: \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AH.BD\)

\(S_{ACD}=\frac{1}{2}AH.CD\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.CD}=\frac{BD}{DC}\)

Mà \(\frac{DB}{DC}=\frac{15}{12}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

a) Xét tam giác ABC có:

BD là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)(tính chất)

 \(\Rightarrow\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{25}{7}\)(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DB=\dfrac{25.3}{7}=\dfrac{75}{7}\left(cm\right)\\DC=\dfrac{25.4}{7}=\dfrac{100}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.DC}{\dfrac{1}{2}.AH.BC}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{100}{7}:25=\dfrac{4}{7}\)

a: Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

hay \(\dfrac{BD}{15}=\dfrac{CD}{20}\)

mà BD+CD=25cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{15}=\dfrac{CD}{20}=\dfrac{25}{35}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: \(BD=\dfrac{75}{7}cm;CD=\dfrac{100}{7}cm\)

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của:

Mà AB = 15cm và AC = 20cm ( gt )

Nên \(\dfrac{DC}{DB}\)

( Tính chất tỉ lệ thức đã học ở lớp 7 )

b) Kẻ 

Ta có:\(S_{ABD}\)=\(\dfrac{1}{2}\)AH.BD

\(S_{ACD}\)=\(\dfrac{1}{2}\)AH.CD

⇒\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}\)=\(\dfrac{\dfrac{1}{2}AH.BD}{\dfrac{1}{2}AH.CD}\)=\(\dfrac{BD}{DC}\)

Mà \(\dfrac{DB}{DC}\)=\(\dfrac{15}{12}\)=\(\dfrac{3}{4}\)

⇒\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}\)=\(\dfrac{3}{4}\)(đpcm)

a) Ta có: \(BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 10 - BD\)

Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{10 - BD}} = \frac{6}{8} \Leftrightarrow 8BD = 6.\left( {10 - BD} \right) \Rightarrow 8BD = 60 - 6BD\)

\( \Leftrightarrow 8BD + 6BD = 60 \Leftrightarrow 14BD = 60 \Rightarrow BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}\)

\( \Rightarrow DC = 10 - \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}\)

Vậy \(BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm\).

b) Kẻ \(AE \bot BC \Rightarrow AE\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

Vì \(AE \bot BC \Rightarrow AE \bot BD \Rightarrow AE\)là đường cao của tam giác \(ADB\)

Diện tích tam giác \(ADB\) là:

\({S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE\)

Vì \(AE \bot BC \Rightarrow AE \bot DC \Rightarrow AE\)là đường cao của tam giác \(ADC\)

Diện tích tam giác \(ADC\) là:

\({S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}\).

Vậy tỉ số diện tích giữa \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADC\) là \(\frac{3}{4}\).

Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của (BAC)

Suy ra: \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)(tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}\)

uy ra: \(\frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\)(tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: \(\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}\Rightarrow DB=\frac{15}{35}.BC=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm\)

\(\Rightarrow DC=BC-BD=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm\)

b. Kẻ AH ⊥ BC

Ta có: SABD = 1/2 AH.BD; SADC = 1/2 AH.DC

Suy ra :\(\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.DC}=\frac{BD}{DC}\)

Mà\(\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{3}{4}\)

Áp dụng tinh chất của đường phân giác ta có:

BD/DC = AB/AC ⇔ BD/( BC - DB) = AB/AC

hay BD /( 25 - BD) = 15/20 = 3/4 ⇔ 4BD = 75 - 3BD ⇔ 7BD = 75 ⇒ BD = 10(5/7)

Chọn đáp án B.