Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng 1. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho BM = 2MA; N trên AC sao cho AN = 3NC. Tích vô hướng của \(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DN}\) bằng:
A. \(-\dfrac{1}{8}\)
B. \(\dfrac{1}{9}\)
C. \(\dfrac{1}{8}\)
D. \(\dfrac{3}{4}\)
\(BM=2MA\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\); \(AN=3NC\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}\right)\)
\(=\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(-\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\left(\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\dfrac{5}{16}AB^2-\dfrac{3}{16}AD^2=\dfrac{1}{8}AB^2=\dfrac{1}{8}\) (chú ý rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\) và \(AB=AD=1\))
Câu 1: Cho hình vuông ABCD . Khẳng định sai là:
A. Hình vuông ABCD có bốn cạnh bằng nhau : AB = BC = CD = DA .
B. Hình vuông ABCD có bốn góc ở đỉnh: A,B,C,D bằng nhau.
C. Hình vuông ABCD có hai đường chéo bằng nhau: AC = BD .
D. Hình vuông ABCD có hai cặp cạnh đối song song: AB và BC ; CD và DA .
Câu 2: Một hình vuông có diện tích là 144 cm2 . Độ dài cạnh của hình vuông là:
A. 10 cm B. 12 cm C. 36 cm D. 24 cm
Câu 3: Hình vuông ABCD có chu vi là 20 cm . Diện tích của hình vuông ABCD là:
A. 100 cm2 B. 16 cm2 C. 36 cm2 D. 25 cm2
Câu 4: Một căn phòng hình vuông có diện tích 16 m2 được lát nền bởi các viên gạch loại 50 x 50 cm . Số gạch tối thiểu để lát nền căn phòng là:
A. 8 viên gạch. B. 16 viên gạch. C. 32 viên gạch. D. 64 viên gạch.
Câu 5: Số tự nhiên x là bội của 4 và thỏa mãn 24<x<30 . Số x là:
A. 28. B. 26. C. 24. D. 27.
Câu 6: Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ (số lượng bác sĩ và y tá của mỗi tổ là như nhau)?
A. 12. B. 6. C. 24. D. 18.
Câu 7: Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài là 680 cm và chiều rộng là 480 cm . Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Độ dài cạnh viên gạch lớn nhất có thể lát là:
A. 30 cm B. 20 cm C. 40 cm D. 60 cm
Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi Ak+1, Bk+1, Ck+1, Dk+1 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AkBk, BkCk, CkDk, DkAk (với k = 1 , 2 , . . . ). Chu vi của hình vuông A2018B2018C2018D2018 bằng
A. 2 2 2019
B. 2 2 1006
C. 2 2 2018
D. 2 2 1007
Chọn đáp án D
Cạnh của hình vuông A2B2C2D2 là A 2 B 2 = A 1 B 1 . 2 2
Cạnh của hình vuông A3B3C3D3 là
Cạnh của hình vuông A4B4C4D4 là
Tương tự, ta tính được cạnh của hình vuông A2018B2018C2018D2018 là
Chu vi của hình vuông
Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi A k + 1 , B k + 1 , C k + 1 , D k + 1 thứ tự là trung điểm các cạnh A k B k , B k C k , C k D k , D k A k ( k = 1 , 2 , . . . ) . Chu vi hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 bằng
A. 2 2 2019
B. 2 2 1006
C. 2 2 2018
D. 2 2 1007
Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi A k + 1 , B k + 1 , C k + 1 , D k + 1 thứ tự là trung điểm các cạnh A k B k , B k C k , C k D k , D k A k (với k = 1,2 ....). Chu vi của hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 là:
A. 2 2 1007
B. 2 2 1006
C. 2 2 2018
D. 2 2 2017
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1. Gọi K là trung điểm của DD′ (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng CK và A′D bằng
A. 10 5
B. 4 5
C. 10 10
D. 2 5
Cho hình vuông ABCD có cạnh =1 , Vẽ 1/4 (A,1) nằm trong hình vuông trong đó lấy điểm K khác B và D . Tiêp tuyến tại K với đường tròn cắt cạnh BC ở E , cắt cạnh CD ở F
1. cm : EAF =45 độ
2. Gọi P là giao điểm của AE và BK , Q là giao điẻm của AF và DK
a, cm PQ//BD
b, tính độ dài PQ
Cho hình vuông ABCD có cạnh =1 , Vẽ 1/4 (A,1) nằm trong hình vuông trong đó lấy điểm K khác B và D . Tiêp tuyến tại K với đường tròn cắt cạnh BC ở E , cắt cạnh CD ở F
1. cm : EAF =45 độ
2. Gọi P là giao điểm của AE và BK , Q là giao điẻm của AF và DK
a, cm PQ//BD
b, tính độ dài PQ
Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi A K + 1 B K + 1 C K + 1 D K + 1 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh A K B K , B K C K , C K D K , D A A K (với K=1,2,...). Chu vi của hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 bằng
A. 2 2 1007
B. 2 2 1006
C. 2 2 2017
D. 2 2 2018
Đáp án A.
Từ giả thiết, ta có: A 2 B 2 = A 1 B 1 . 2 2 ; A 3 B 3 = A 2 B 2 . 2 = A 1 B 1 . 2 2 2 ;
A 4 B 4 = A 3 B 3 . 2 2 = A 1 B 1 . 2 2 3
Suy ra A k B k = A 1 B 1 . 2 2 k - 1 . Khi đó chu vi hình vuông A k B k C k D k được tính theo công thức P k = 4 A k B k = 4 A 1 B 1 . 2 2 k - 1 .
Vậy chu vi hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 là:
P 2018 = 4 A 1 B 1 . 2 2 2017 = 2 2 . 2 . 2 2018 2 2017 = 2 2 2017
