a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>ADHE nội tiếp (O), O là trung điểm của AH

b: Xét tứ giác BEDC có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

=>BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>BEDC nội tiếp (F)

Gọi giao của AH với BC là M

Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH vuông góc BC tại M

\(\widehat{OEF}=\widehat{OEC}+\widehat{FEC}\)

\(=\widehat{AOE}+\widehat{ECB}\)

\(=\widehat{AOE}+\widehat{EAO}=90^0\)

=>FE là tiếp tuyến của (O)

c: ΔDAB vuông tại D có DM là trung tuyến

nên DM=MA=MB

ΔDHC vuông tại D có DI là trung tuyến

nên IH=ID=IC và ΔDHC nội tiếp đường tròn (I)

\(\widehat{MDI}=\widehat{MDB}+\widehat{IDB}\)

\(=\widehat{MBD}+\widehat{IHD}\)

\(=\widehat{MBD}+\widehat{EHB}=90^0\)

=>MD là tiếp tuyến của (I)

Bài 2: 

a: Ta có: ΔAEH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=AH/2(1)

Ta có: ΔADH vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên DI=AH/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra IE=ID

b: Xét tứ giác BEDC có 

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

Do đó: BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>ME=MD

hay M nằm trên đường trung trực của ED(1)

Ta có: IE=ID

nên I nằm trên đường trung trực của ED(2)

Từ (1) và (2) suy ra IM là đường trung trực của ED

hay D đối xứng với E qua IM

a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

góc A chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔACE

=>AB/AC=AD/AE

=>AB*AE=AC*AD

b: Gọi giao của HK với BC là N

=>N là trung điểm của HK

Xét ΔHKM có HN/HK=HI/HM

nên NI//KM

=>KM//BC

C nằm trên trung trực của HK

=>CH=CK

Xét tứ giác BHCM có

I là trung điểm chung của BC và HM

=>BHCM làhbh

=>BM=CH=CK

=>BKMC là hình thang cân

em ko bít

a) Xét tg BCD vuông tại D có DM=BM=CM

Tg BEC vuông tại E có EM=BM=MC (t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tg vuông)

=> EM=DM

=> Tg EDM vuông tại M

b) Xét tg AHD vuông D có : AI=ID \(\Rightarrow ID=\frac{AH}{2}\)

Tg AEH vuông E có : AI=IH \(\Rightarrow EI=\frac{AH}{2}\)

=> ID=IE

Lại có EM=DM (cmt)

=> IM là đg trung trực của ED

c) Tg ABC có : \(BD\perp AC,CE\perp AB\Rightarrow AH\perp BC\)(t/c 3 đường cao)

AH cắt BC tại O

Xét tg AOC vuông tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{OCA}=90^o\)

Mà : \(\widehat{OAC}=\widehat{IDA}\)(tg AID cân I do AI=ID)

         \(\widehat{OCA}=\widehat{CDM}\)(tg DMC cân M do MD=MC)

\(\Rightarrow\widehat{CDM}+\widehat{IDA}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{IDM}=180^o-\left(\widehat{CDM}+\widehat{IDA}\right)=180^o-90^o=90^o\)

- Tương tự cũng tính được \(\widehat{ IEM}=90^o\)

#H

a) Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\widehat{BAC}\)(tia AH nằm giữa hai tia AB,AC)

nên \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90^0\)

Xét (A) có 

CE là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(AH⊥CH tại H)

Do đó: AC là tia phân giác của \(\widehat{EAH}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(BH⊥AH tại H)

BD là tiếp tuyến có D là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB là tia phân giác của \(\widehat{HAD}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{DAH}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Ta có: \(\widehat{EAD}=\widehat{EAH}+\widehat{DAH}\)(tia AH nằm giữa hai tia AE,AD)

mà \(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{HAC}\)(cmt)

và \(\widehat{DAH}=2\cdot\widehat{HAB}\)(cmt)

nên \(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{HAC}+2\cdot\widehat{HAB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAC}+\widehat{HAB}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAD}=2\cdot90^0=180^0\)

hay A,D,E thẳng hàng(đpcm)

b) Xét (A) có 

CE là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(AH⊥CH tại H)

Do đó: CE=CH(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(BH⊥AH tại H)

BD là tiếp tuyến có D là tiếp điểm(gt)

Do đó: BH=BD(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HC\cdot HB\)

hay \(AH^2=BD\cdot CE\)(1)

Ta có: AH=AE(=R)

mà AH=AD(=R)

nên AE=AD

mà E,A,D thẳng hàng(cmt)

nên A là trung điểm của ED

\(\Leftrightarrow EA=\dfrac{ED}{2}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{ED}{2}\)

hay \(AH^2=\dfrac{DE^2}{4}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BD\cdot CE=\dfrac{DE^2}{4}\)(đpcm)

c) Xét (M) có 

ΔCNH nội tiếp đường tròn(C,N,H∈(M))

CH là đường kính

Do đó: ΔCNH vuông tại N(Định lí)

⇒CN⊥NH(3)

Vì (M) cắt (A) tại N và H

nên MA là đường trung trực của NH(Vị trí tương đối của hai đường tròn)

hay MA⊥NH(4)

Từ (3) và (4) suy ra CN//AM(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)