Question

Cho tam giác ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) c/m: A,D,H,E cùng thuộc đường tròn tâm (O)

b) Lấy F là trung điểm BC. c/m FE là tiếp tuyến của (O) 

c) Vẽ đường tròn tâm I, đường kính CH. Gọi M là trung điểm AB.c/m MD là tiếp tuyến của đương tròn (I)

Answer 1

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>ADHE nội tiếp (O), O là trung điểm của AH

b: Xét tứ giác BEDC có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

=>BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>BEDC nội tiếp (F)

Gọi giao của AH với BC là M

Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH vuông góc BC tại M

\(\widehat{OEF}=\widehat{OEC}+\widehat{FEC}\)

\(=\widehat{AOE}+\widehat{ECB}\)

\(=\widehat{AOE}+\widehat{EAO}=90^0\)

=>FE là tiếp tuyến của (O)

c: ΔDAB vuông tại D có DM là trung tuyến

nên DM=MA=MB

ΔDHC vuông tại D có DI là trung tuyến

nên IH=ID=IC và ΔDHC nội tiếp đường tròn (I)

\(\widehat{MDI}=\widehat{MDB}+\widehat{IDB}\)

\(=\widehat{MBD}+\widehat{IHD}\)

\(=\widehat{MBD}+\widehat{EHB}=90^0\)

=>MD là tiếp tuyến của (I)