Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Ta tính được HK = KC = 3cm

Do BH > HK ⇒ AB > AK (mối quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên)

Tam giác AHK vuông tại H nên HK < AK

Vậy HK < AK < AB. Chọn B

a. Xét ΔABC ( \(\widehat{BAC}=90^o\) ) theo hệ thức lượng ta có:

AC² = HC . BC => HC = \(\frac{AC^2}{BC}\)= \(\frac{6^2}{12}\)= 3cm

=> BH = BC - HC = 12 - 3 = 9cm

b. Xét ΔABC ( \(\widehat{BAC}=90^o\) ) theo hệ thức lượng ta có:

AH² = BH . HC = 2 . 5 = 10 => AH = \(\sqrt{10}\)cm

Xét ΔABH và ΔACH \(\left(\widehat{H}=90^o\right)\)theo định lí py - ta - go ta có:

\(AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{2^2+\sqrt{10}^2}=\sqrt{14}cm\)

\(AC=\sqrt{HC^2+AH^2}=\sqrt{5^2+\sqrt{10^2}}=\sqrt{35}cm\)

c. Xét ΔAHC \(\left(\widehat{AHC}=90^o\right)\)theo định lí py - ta - go ta có:

\(AC=\sqrt{HC^2+AH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm\)

Xét ΔABC ( \(\widehat{BAC}=90^o\) ) theo hệ thức lượng ta có:

\(AH^2=HC.BH=>BH=\frac{AH^2}{HC}=\frac{4^2}{3}=\frac{16}{3}cm\)

\(AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2+4^2}=\frac{20}{3}cm\)

d. Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}=>4AB=3AC< =>4.6=3AC< =>24=3AC< =>AC=8cm\)

Xét ΔABC ( \(\widehat{BAC}=90^o\) ) theo định lí py - ta - go ta có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\)

Xét ΔABC ( \(\widehat{BAC}=90^o\) ) theo hệ thức lượng ta có:\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}=\frac{25}{576}=>AH^2=\frac{576}{25}=23.04=>AH=\sqrt{23.04}=4,8cm\)

Xét ΔABH \(\left(\widehat{H}=90^o\right)\)theo định lí py - ta - go ta có:

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3,6cm\)

=> HC = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4cm

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

Chọn D