ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

a, Vì AI là tiếp tuyến chung trong

        BC là tiếp tuyến chung ngoài

=> IA = IB = IC

=> tam giác BAC vuông ở A

=> ^BAC = 90^o

b, Vì IA , IB là tiếp tuyến (O)

=> IO là phân giác ^BIA

=> \(\widehat{OIA}=\frac{\widehat{BIA}}{2}\)

Tương tự \(\widehat{O'IA}=\frac{\widehat{CIA}}{2}\)

Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=180^o\)

\(\Rightarrow\frac{\widehat{BIA}+\widehat{CIA}}{2}=90^o\)

=> ^OIA  + ^O'IA = 90^o

=> ^OIO' = 90^o

c, Xét tam giác OIO' vuông tại I có IA là đường cao

\(IA^2=OA.O'A\)(Hệ thức lượng)

\(\Leftrightarrow IA^2=9.4\)

\(\Leftrightarrow IA=6\)(Do IA > 0)

MÀ BC = 2IA

=> BC = 12

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC .

Tam giác ABC có đường trung tuyến \(AI=\frac{1}{2}BC\)nên là tam giác vuông

Vậy \(\widehat{BAC}=90^o\left(đpcm\right)\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên :

\(\widehat{OIO'}=\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}+\frac{1}{2}\widehat{AIC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}\right)\)

Vậy : \(\widehat{OIO'}=90^o\)

c) \(\Delta OIO'\) vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA² = AO.AO' = 9 . 4 = 36

=> IA = 6 ( cm )

Vậy BC = 2 . IA = 2 . 6 = 12 (cm)

a.

Do IA và IB là tiếp tuyến của (O), theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(IA=IB\)

Tương tự, IA và IC là tiếp tuyến của (O') \(\Rightarrow IA=IC\)

\(\Rightarrow IA=IB=IC=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

b.

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OIB}=\widehat{OIA}=\dfrac{1}{2}\widehat{BIA}\\\widehat{O'IC}=\widehat{O'IA}=\dfrac{1}{2}\widehat{CIA}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OIO'}=\dfrac{1}{2}.\widehat{BIC}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta OIO'\) vuông tại O

Do IA là tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc ngoài của 2 đường tròn \(\Rightarrow IA\perp O'O\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OIO' với đường cao IA:

\(IA^2=OA.O'A=36\Rightarrow IA=6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BC=2IA=12\left(cm\right)\)

Lời giải:
Vì $IB, IA$ là 2 tiếp tuyến giao nhau của $(O)$ nên $IB=IA$

$\Rightarrow \triangle IBA$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IBA}(1)$

Tương tự: $ICA$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAC}=\widehat{ICA}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{IAB}+\widehat{IAC}=\widehat{IBA}+\widehat{ICA}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CBA}+\widehat{BCA}$

Mà $\widehat{BAC}+(\widehat{CBA}+\widehat{BCA})=180^0$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$ (đpcm)

b. $(O), (O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ nên $O,A,O'$ thẳng hàng

$IA$ là tiếp tuyến chung của $(O), (O')$ nên $IA\perp OO'$

$BI, IA$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$  nên $IO$ là phân giác $\widehat{BIA}$ (tính chất 2 tt cắt nhau)

Tương tự: $IO'$ là phân giác $\widehat{CIA}$

Mà $\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=\widehat{BIC}=180^0$ nên $\widehat{OIO'}=90^0$

Tam giác $OIO'$ vuông tại $I$ có $IA\perp OO'$ nên áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

$IA^2=OA.O'A=9.4=36$ 

$\Rightarrow IA=6$ (cm)

$BC=BI+IC=IA+IA=2IA=12$ (cm)

Hình vẽ:

Ta có:

BM = MA

CM = MA

( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ BC = BM + MC = 2MA

Xét tam giác OMO’ vuông tại M có MA là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMO’ có:

A M 2  = OM.O'M = 16.9 = 144 ⇒ AM = 12cm

⇒ BC = 2.12 = 24cm

Hướng dẫn giải:

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có .

Do đó tam giác ABC vuông tại A

.

b) Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó (hai tia phân giác của hai góc kề bù).

c) Ta có .

Xét tam giác OIO' vuông tại I, ta có:

Do đó BC=12cm.

Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi.

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $IA=IB=IC=\frac{1}{2}BC$.

Do đó tam giác ABC vuông tại A

$\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^{\circ }$.

b) Ta có ${\hat{I}}_1={\hat{I}}_2;{\hat{I}}_3={\hat{I}}_4$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó $\widehat{OI{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$ (hai tia phân giác của hai góc kề bù).

c) Ta có $AI\perp O{O}^{\prime }$.

Xét tam giác OIO' vuông tại I, ta có:

$I{A}^2=OA\cdot O^{\prime }A=9\cdot 4=36\Rightarrow IA=6.$

Do đó BC=12cm.

Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi.

giúp mình vs