nếu bạn là hs chuyên toán thì mình giải theo cách này

_ta thấy 200=8.25 (phân tích thừa số nguyên tố)

ta cần chứng minh 2110-1 đông  dư 0 (mod8)   ta co 21²    đồng dư 1 (mod 8) <=>  21¹⁰-1 đồng dư o mod 8  (1)

                             21¹⁰-1 dong du 0 (mod 25)   ta có 21⁵ đồng dư 1 (mod 25)   <=>   21¹⁰-1 đồng dư 0 mod 25  (2)

từ (1) và (2)

tao suy ra..............

Ta có: 2110 - 1 = (21 - 1)(219 + 218 + 217 + ... + 21 + 1)

= 20.10M (M ∈ N)

= 200.M chia hết cho 200.

\(21^2\equiv1\left(mod8\right)\Leftrightarrow21^{10}\equiv1^5=1\left(mod8\right)\\ \Leftrightarrow21^{10}-1\equiv0\left(mod8\right)\\ \Leftrightarrow21^{10}-1⋮8\left(1\right)\\ 21^5\equiv1\left(mod25\right)\Leftrightarrow21^{10}\equiv1^2=1\left(mod25\right)\\ \Leftrightarrow21^{10}-1\equiv0\left(mod25\right)\\ \Leftrightarrow21^{10}-1⋮25\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow21^{10}-1⋮25\cdot8=200\)

\(21^{10}-1\)

\(=\left(20+1\right)^{10}-1\)

\(=20^{10}+1^{10}-1\)

\(=20^{10}+\left(1-1\right)\)

\(=\left(20^2\right)^5\)

\(=400^5\)

\(=\left(200.2\right)^5\)

\(=200^5.2^5⋮200\left(đpcm\right)\)

21^10 -1

=(21^5)^2-1^2

=(21^5+1)(21^5-1)

Có 21^5+1=B suy rađặt 21^5+1=2k

suy ra 21^10=2k(21^5-1)=2k

Ta có:

\(21^{10}-1\)

\(=\left(21^5\right)^2-1^2\)

\(=\left(21^5+1\right)\left(21^5-1\right)\)

Có \(21^5+1=B\left(2\right)\Rightarrow\)Đặt \(21^5+1=2k\)

\(\Rightarrow21^{10}-1=2k\left(21^5-1\right)=2k.\left(...00\right)\)chia hết cho 200

Vậy ...

Có:

21²  đồng dư 41(mod200)

(21²)⁵ đồng dư 41⁵ (mod200) đồng dư 1(mod200)

hay 21¹⁰ đồng dư 1(mod200)

=>21¹⁰-1 đồng dư 1-1(mod200)

=>21¹⁰ chia hết chon200

6^100-1 =......6-1=......0 chia hết cho 5

21^10-11^10=.....1-.......1=......0 chia hết cho 10

a/ 10⁹ =100000...0 (9 chữ số 0) => 10⁹ +2 = 100000..0002 (8 chữ số 0)

Tổng các chữ số =1+2=3 => 10⁹ +2 chia hết cho 3

b/ 10¹⁰ = 100000..000 (10chữ số 0) => 10¹⁰ - 1 = 9999...9999 (10 chữ số 9)

Tổng các chữ số là 10x9=90 => chia hết cho 9

c/ và d/ cũng tương tự