a, Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-2xy-xy\right)\)

\(=1\left(1^2-3\left(-1\right)\right)=1\left(1^2+3\right)=4\)

b, Ta có : \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(\left(x-y\right)^2+3xy\right)\)

\(=1\left(1+3.9\right)=19\)

Lời giải:

Giả sử $x>0; y< 0$. Khi đó:

\((xy-x^2)\sqrt{\frac{-y}{x}}=(y-x)x\sqrt{\frac{-y}{x}}=(y-x)\sqrt{-xy}\)

\((xy-y^2)\sqrt{\frac{-x}{y}}=(x-y)y\sqrt{\frac{-x}{y}}=(y-x)(-y)\sqrt{\frac{-x}{y}}=(y-x)\sqrt{(-y)^2.\frac{-x}{y}}=(y-x)\sqrt{-xy}\)

\(\Rightarrow (xy-x^2)\sqrt{\frac{-y}{x}}=(xy-y^2)\sqrt{\frac{-x}{y}}\Rightarrow \frac{xy-x^2}{\sqrt{\frac{-x}{y}}}=\frac{xy-y^2}{\sqrt{\frac{-y}{x}}}\) (đpcm)

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

=> \(2x^2+2y^2+2x^2=2xy+2yz+2zx\) 

=> \(2x^2+2y^2+2x^2-2xy-2yz-2zx=0\) 

=> \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\) 

=> x -y =0 ; y - z=0 ; z - x=0

=> x =y; y =z; z=x

=> x=y=z

bạn cảm ơn ai vay có bn ấy có giup bn làm đau

mk chua hok den nen ko co bit lam

cảm ơn b nhé

1/ Sửa đề:   \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)

Với mọi x, y, z ta luôn có:   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)

\(\Rightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

Do đó dấu "=" xảy ra    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    x = y = z

3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\)   \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\)    \(\Leftrightarrow\)    \(a^2-2ab+b^2\ge0\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

Ta có bất đẳng thức $a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}

$⇔2.(a^2+b^2) \geq (a+b)^2$

$⇔(a-b)^2 \geq 0$ (đúng)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho $\dfrac{x}{y}$ và $\dfrac{y}{x}$ có:

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} $

$\geq \dfrac{(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2}{2}$

Hay $2.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) có:

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2.\sqrt[]{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2$

Nên $(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}).(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}) \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Hay $ (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2  \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Suy ra $2.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Hay $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})(đpcm)$

Dấu $=$ xảy ra $⇔x=y$