\(\frac{a}{b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{9a}=k\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a.b.c}{b.3c.9a}=\frac{1}{27}=k^3\Leftrightarrow k=\frac{1}{3}\)

\(\frac{b}{3c}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow b=c\)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{9a}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{3c}\right)^3=\left(\frac{c}{9a}\right)^3=\left(\frac{a.b.c}{b.3c.c.9a}\right)=\frac{1}{27}=k^3\)

\(\Leftrightarrow k=\left(\frac{1}{27}\div\frac{1}{27}\right)\div3=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{3c}=\frac{1}{3}\)

Vậy \(\Rightarrow b=c\left(đpcm\right)\)

đề có cho thêm dữ kiện gì nữa k

Theo tc của DTSBN

\(\frac{a+b-3c}{c}=\frac{b+c-3a}{a}=\frac{c+a-3b}{b}=\frac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{c+a+b}\)

                                                                                       \(=\frac{-a-b-c}{a+b+c}=-1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-3c=-c\\b+c-3a=-a\\c+a-3b=-b\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)

\(VT=\sum\frac{a}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\sum\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)=\frac{1}{25}\left(6+\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\right)=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{3a+b+c}=\frac{2a}{6a+2b+2c}=\frac{2a}{(a+b)+(a+c)+(a+b)+(a+c)+2a}\leq \frac{2a}{25}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2a}\right)\)

\(=\frac{4}{25}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{1}{25}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:

\(\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{4}{25}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c})+\frac{3}{25}=\frac{12}{25}+\frac{3}{25}=\frac{3}{5}\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=\frac{a+c+2c}{a+b}+\frac{a+b+2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{a+c}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a+c}}=2\)

Cần chứng minh \(2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\ge3\)thì bài toán được chứng minh

tức là \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Tuy nhiên đây là bất đẳng thức Nesbitt quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh 

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Cho a/b = c/d chứng minh a/b = 2a+3c/2a-3c

đúng ko