Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Le Thao Vy

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{a+3b+c}+\frac{c}{a+b+3c}\le\frac{3}{5}\)

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 7 2020 lúc 11:19

\(VT=\sum\frac{a}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\sum\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)=\frac{1}{25}\left(6+\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\right)=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Akai Haruma
16 tháng 7 2020 lúc 11:28

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{3a+b+c}=\frac{2a}{6a+2b+2c}=\frac{2a}{(a+b)+(a+c)+(a+b)+(a+c)+2a}\leq \frac{2a}{25}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2a}\right)\)

\(=\frac{4}{25}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{1}{25}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:

\(\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{4}{25}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c})+\frac{3}{25}=\frac{12}{25}+\frac{3}{25}=\frac{3}{5}\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$


Các câu hỏi tương tự
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Thuyết Dương
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết
Anh Pha
Xem chi tiết
Chí Lê Toàn Phùng
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết