a: Xét ΔNPC có I,K lần lượt là trung điểm của NP,NC

=>IKlà đường trung bình của ΔNPC

=>IK//PC và IK=PC/2

IK//PC

\(J\in PC\)

Do đó: IK//JP

IK=PC/2

PC=PB

\(JP=\dfrac{BP}{2}\)

Do đó: IK=JP

Xét tứ giác IKPJ có

IK//PJ

IK=PJ

Do đó: IKPJ là hình bình hành

b: Xét ΔACN có

K,Q lần lượt là trung điểm của CN,CA

=>KQ là đường trung bình của ΔACN

=>KQ//AN và \(KQ=\dfrac{AN}{2}\)

Xét ΔPNB có

I,J lần lượt là trung điểm của PN,PB

=>IJ là đường trung bình của ΔPNB

=>IJ//NB và \(JI=\dfrac{NB}{2}\)

JI//NB

KQ//AN

A,N,B thẳng hàng

Do đó: JI//KQ

\(JI=\dfrac{BN}{2}\)

\(KQ=\dfrac{AN}{2}\)

mà BN=AN

nên JI=KQ

Xét tứ giác QKJI có

QK//JI

QK=JI

Do đó: QKJI là hình bình hành

c: KQ//AN

N\(\in\)AB

Do đó: KQ//AB

KP//AB

KQ//AB

KQ,KP có điểm chung là K

Do đó: Q,K,P thẳng hàng

\(QK=\dfrac{AN}{2}\)

\(PK=\dfrac{BN}{2}\)

mà AN=BN

nên QK=PK

mà Q,K,P thẳng hàng

nên K là trung điểm của PQ

Mình không biết vẽ hình trên đây nên bạn thông cảm nhé

Xét tam giác CAN có:  Q là trung điểm  của AC

                                    K là trung điểm của NC

=>QK là đường trung bình của tam giác CAN

=> \(\hept{\begin{cases}QK=\frac{1}{2}AN\\QKsongsongAN\end{cases}}\)(1)

Xét tam giác PBN có:   J là trung điểm của BP

                                     I là trung điểm của NP

=> IJ là đường  trung bình của  tam giác PBN

=>\(\hept{\begin{cases}IJ=\frac{1}{2}BN\\IJsongsongBN\end{cases}}\)(2)

mà AN=BN(N là trung điểm của AB)(3)

=>\(\hept{\begin{cases}QK=IJ\\QKsongsongIJ\end{cases}}\)

       Xét tứ giác IJKQ có:

\(\hept{\begin{cases}QK=IJ\\QKsongsong\:IJ\end{cases}}\)       

=> IJQK là hình bình hành                        

IJ là đường trung bình tam giác BPN nên \(IJ//BN;IJ=\dfrac{1}{2}BN=\dfrac{1}{2}AN\left(GT\right)\left(1\right)\)

QK là đường trung bình tam giác ANC nên

\(QK//AN.hay.QK//BN;QK=\dfrac{1}{2}AN\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow QK//IJ;QK=IJ\Rightarrow IJKQ.là.hình.bình.hành\)

Xét ΔPNB có 

J là trung điểm của BP

I là trung điểm của NP

Do đó: JI là đường trung bình của ΔPNB

Suy ra: JI//NB và \(JI=\dfrac{NB}{2}\)

hay JI//AB và \(JI=\dfrac{AB}{4}\left(1\right)\)

Xét ΔACN có 

Q là trung điểm của AC

K là trung điểm của NC

Do đó: QK là đường trung bình của ΔACN

Suy ra: QK//AN và \(QK=\dfrac{AN}{2}\)

hay QK//AB và \(QK=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra QK//IJ và QK=IJ

hay IJKQ là hình bình hành