Question

Cho tam giác ABC. Gọi N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng NP, BP, NC. Chứng minh: a) Tứ giác IJPK là hình bình hành. b) Tứ giác IJKQ là hình bình hành. c) K là trung điểm của PQ.

Answer 1

a: Xét ΔNPC có I,K lần lượt là trung điểm của NP,NC

=>IKlà đường trung bình của ΔNPC

=>IK//PC và IK=PC/2

IK//PC

\(J\in PC\)

Do đó: IK//JP

IK=PC/2

PC=PB

\(JP=\dfrac{BP}{2}\)

Do đó: IK=JP

Xét tứ giác IKPJ có

IK//PJ

IK=PJ

Do đó: IKPJ là hình bình hành

b: Xét ΔACN có

K,Q lần lượt là trung điểm của CN,CA

=>KQ là đường trung bình của ΔACN

=>KQ//AN và \(KQ=\dfrac{AN}{2}\)

Xét ΔPNB có

I,J lần lượt là trung điểm của PN,PB

=>IJ là đường trung bình của ΔPNB

=>IJ//NB và \(JI=\dfrac{NB}{2}\)

JI//NB

KQ//AN

A,N,B thẳng hàng

Do đó: JI//KQ

\(JI=\dfrac{BN}{2}\)

\(KQ=\dfrac{AN}{2}\)

mà BN=AN

nên JI=KQ

Xét tứ giác QKJI có

QK//JI

QK=JI

Do đó: QKJI là hình bình hành

c: KQ//AN

N\(\in\)AB

Do đó: KQ//AB

KP//AB

KQ//AB

KQ,KP có điểm chung là K

Do đó: Q,K,P thẳng hàng

\(QK=\dfrac{AN}{2}\)

\(PK=\dfrac{BN}{2}\)

mà AN=BN

nên QK=PK

mà Q,K,P thẳng hàng

nên K là trung điểm của PQ