CMR:
a) Nếu a đồng dư 1 (mod2) thì a^2 đồng dư 1 (mod 8)
b) Nếu a đồng dư 1(mod 3) thì a^3 đồng dư 1 (mod9)
CHỨNG MINH RẰNG:
a) Nếu a đồng dư với 1 ( mod 2) thì a2 đồng dư với 1 ( mod 8)
b) Nếu a đồng dư với 1 ( mod 3) thì a2 đồng dư với 1 ( mod 9)
Cho aϵZ. CMR:
a) Nếu a đồng dư 1 (mod 2) thì a2 đồng dư 1 (mod 8).
b) Nếu a đồng dư 1 (mod 3) thì a3 đồng dư 1 (mod 9)
Lời giải:
a)
$a\equiv 1\pmod 2$ nên $a$ có dạng $2k+1$ $(k\in\mathbb{Z}$
Khi đó:
$a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$
Vì $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$
$\Rightarrow 4k(k+1)\vdots 8$
$\Rightarrow a^2=4k(k+1)+1$ chia $8$ dư $1$ hay $a^2\equiv 1\pmod 8$
b)
$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a-1\equiv 0\pmod 3(1)$ hay
Lại có:
$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a^2+a+1\equiv 1+1+1\equiv 0\pmod 3(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow (a-1)(a^2+a+1)\equiv 0\pmod 9$
hay $a^3-1\equiv 0\pmod 9\Leftrightarrow a^3\equiv 1\pmod 9$
bài 1 CMR:
a,(1991^1997-1997^1996) chia hết cho 10
b,(2^9+2^99) chia hết cho 100
bài 2 CMR
a,nếu a đồng dư1(mod2)thì a^2 đồng dư 1(mod8)
b, nếu a đồng dư 1(mod3) thì a^3 đồng dư 1(mod9)
bài này vượt quá giới hạn của ta rồi
Câu 1 cách làm:
Cậu có thể đưa ra chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa, ví dụ như thế này để tính
2^(4k+1) có tận cùng là 2 nên 2^2009 có tận cùng là 2(2009=4.502+1)
chứng minh rằng :
Nếu a đồng dư với 1 (mod 2) thì a2 đồng dư với 1(mod 8)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
chứng minh rằng nếu abc đồng dư với 0 (mod 21) thì (a - b) + 4c đồng dư với 0 (mod 21)
\(\overline{abc\equiv0}\) (mod 21)
<=> 100a +10b+c\(\equiv\)0 (mod 21)
<=> 84a+16a+10b+c\(\equiv\)0 (mod 21)
<=> 16a+10b+c\(\equiv\)0 (mod 21) vì 84\(⋮\)21
<=> 64a+40b+4c\(\equiv\)0 (mod 21)
<=> 63a+a+42b-2b+4c\(\equiv\)0 (mod 21)
<=> a-2b+4c\(\equiv\)0 (mod 21) đpcm
chứng minh rằng nếu (a,30)=1 thì a4+59 chia hết cho 60
Chứng minh rằng nếu (a,42)=1 thì a6 đồng dư 1(mod 168)
có 2y đồng dư với -1 mod p thì y đồng dư với mấy mod p?
Chứng minh rằng nếu P nguyên tố và a không chia hết cho P thì aP-1 đồng dư với 1( mod P )
Câu hỏi của Lưu Vũ Hoàng - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Trả lời :
a, 2^1 + 3^5 + 4^9 + ... + 2003^8005 : 5
Ta có : 2 đồng dư 2 ( mod 10 )
3 đồng dư 3 ( mod 10 )
...................................
2003 đồng dư 2003 ( mod 10 )
=> 2^1 + 3^5 + 4^9 + ... + 2003^8005 đồng dư 2 + 3 + 4 + ... + 2003 ( mod 10 )
đồng dư 2007005 ( mod 10 )
đồng dư 5 ( mod 10 )
Hay 2^1 + 3^5 + 4^9 + ... + 2003^8005 chia hết cho 5
b, Đặt A = 2^3 + 3^7 + 4^11 + ... + 2003^8005
Mọi lũy thừa trong A đều có dạng n4(n-2)+3
=> n thuộc { 2 ; 3 ; ... ; 2003 }
Áp dụng t/c 3 thì 2^3 có c/s tận cùng là 2 , 3^7 có c/s tận cùng là 7 ; ...
=> C/s tận cùng của A là : ( 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 ) + 199( 1 + 8 +7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9018
Vậy A chia 5 dư 3