a) Theo bài ra ta có: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AN}=3.\overrightarrow{NC}\) => \(\overrightarrow{AN}=3.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN}\right)\) => \(4.\overrightarrow{AN}=3.\overrightarrow{AC}\)

=> \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}\)

=> \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{AB}\)

b) Xét tam giác ABC, theo định lý Talet có: \(\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{1}{3}\)

=> NP// AB => \(\dfrac{NP}{AB}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\) => \(\overrightarrow{NP}=\dfrac{1}{4}.\overrightarrow{AB}\)

=> \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{-1}{2}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}\)

Em ms hok cái này nên ko chắc lăm ạ :D

Theo quy tắc 3 điểm\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MN}\)

Có I là TĐ của BC\(\Rightarrow\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BC}=0\) (1)

Có I là TĐ của MN \(\Rightarrow\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{MN}=0\) (2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrowđpcm\)

*Trong  ∆ BCD,ta có:

K là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

Nên NK là đường trung bình của  ∆ BCD

⇒ NK // BD và NK = 1/2 BD (1)

*Trong  ∆ BED,ta có:

M là trung điểm của BE (gt)

I là trung điểm của DE (gt)

Nên MI là đường trung bình của  ∆ BED

⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD (t/chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK

Nên tứ giác MKNI là hình bình hành.

*Trong ∆ BEC ta có MK là đường trung bình.

⇒ MK = 1/2 CE (t/chất đường trung bình của tam giác)

BD = CE (gt). Suy ra: MK = KN

Vậy hình bình hành MKNI là hình thoi.

⇒IK ⊥ MN (t/chất hình thoi).

giúp mình bài này với 

a) Xét ΔABC có AB=AC(gt)

nên ΔABC cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Suy ra: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy)

hay \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\)

b) Xét ΔABH và ΔACH có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

BH=CH(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔABH=ΔACH(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{MAE}=\widehat{NAE}\)

Xét ΔAME và ΔANE có 

AM=AN(gt)

\(\widehat{MAE}=\widehat{NAE}\)(cmt)

AE chung

Do đó: ΔAME=ΔANE(c-g-c)

c) Ta có: ΔAME=ΔANE(cmt)

nên \(\widehat{AEM}=\widehat{AEN}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AEM}+\widehat{AEN}=180^0\)(hai góc so le trong)

nên \(\widehat{AEM}=\widehat{AEN}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

Suy ra: AH⊥MN tại E(1)

Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

Suy ra: AH⊥BC tại H(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//BC(Đpcm)

Giải

Ta thấy đường trung bình tam giác ABC nên BEDC là hình thang, lại có\(BM=MC\cdot DN=NC\Rightarrow MN\)   là đường trung bình hình thang BEDC hay MN ong song DE và BC. Lại dùng đường trung bình thì 

\(MI=KN=\frac{DE}{2}\left(1\right)\)

\(MN=\frac{DE^2+BC}{2}\Rightarrow IK=MN-2MI=\frac{DE+BC}{2}-DE\)

\(=\frac{BC-DE}{2}=\frac{DE^2}{2}\left(BC=2DE\right)\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow Q\cdot E\cdot D\Rightarrowđcpm\)

Mình sẽ làm câu b trước rồi từ đó suy ra a
b)Giả sử MP=PQ=QN đã có từ trước
Xét △△ ABC có E là trung điểm AB,D là trung điểm AC \Rightarrow ED là đường trung bình của △△ ABC\Rightarrow ED//BC và ED=BC/2(*)
Xét hình thang EDBC có M là trung điểm BE,N là trung điểm CE \Rightarrow MN//BC( (*) (*) )
Từ (*)( (*) (*) ) \Rightarrow ED//MN
Xét △△ BED có M là trung điểm BE,MP//ED \Rightarrow MP là đường trung bình của △△ BED \Rightarrow MP=ED/2
Tương tự cũng có NQ=ED/2
Ta có :MP=PQ
\Leftrightarrow ED2=BC−ED2ED2=BC−ED2
\Leftrightarrow ED=BC-ED
\Leftrightarrow 2ED=BC
Tương tự với NQ và PQ cũng rứa
Vậy muốn NQ=PQ=MP thì 2ED=BC Điều này là hiển nhiên ở (*)
từ đó phát triển lên câu a)NQ=PQ=MP=1/2ED
\Rightarrow MN=3/2ED \RightarrowMN=3/4BC
Đúng thì thanks giùm nha