a: \(AH=2\sqrt{6}\left(cm\right)\)

\(AB=2\sqrt{10}\left(cm\right)\)

\(AC=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Bài 2: 

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{9}\)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

⇔ \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BC.BH}{BC.CH}=\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{9}\)

Lời giải:

a) Theo giả thiết đề bài, giả sử đường cao $AH$ chia cạnh huyền theo tỷ lệ $HB:HC=9:4$

Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}$

$\Rightarrow BA^2=BH.BC$

Tương tự: $CA^2=CH.CB$

$\Rightarrow (\frac{BA}{CA})^2=\frac{BH}{CH}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow \frac{BA}{CA}=\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{3}{2}$

Vậy đường phân giác $AD$ chia cạnh huyền theo tỷ lệ $3:2$

b)

Đặt $AB=3a; AC=2a$ (ĐK: $a>0$)

Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{36}=\frac{1}{(3a)^2}+\frac{1}{(2a)^2}$

$\Rightarrow a=\sqrt{13}$ (cm)

$\Rightarrow AB=3\sqrt{13}; AC=2\sqrt{13}$ (cm)

Hình vẽ:

a) Do AD là tia phân giác  \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có : 

+)  \(AB^2=BC.BH\Leftrightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}\)

+) \(AC^2=BC.HC\Leftrightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}\)

Ta có :  \(\frac{HB}{HC}=\frac{AB^2}{BC}\div\frac{AC^2}{BC}=\frac{AB^2}{BC}.\frac{BC}{AC^2}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{3^2}{5^2}=\frac{9}{25}\)

Vậy  \(\frac{HB}{HC}=\frac{9}{25}\)

b) Xét  \(\Delta AHB\)và  \(\Delta CHA\)có :

\(\widehat{BHA}=\widehat{CHA}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)( cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

\(\Rightarrow\)\(\Delta AHB\)đồng dạng với  \(\Delta CHA\)( g-g )

\(\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}\Leftrightarrow AH^2=HB.HC\left(1\right)\)

Lại có  \(\frac{HB}{HC}=\frac{9}{25}\Leftrightarrow\frac{HB}{9}=\frac{HC}{25}\)

Mà \(HB=HC=BC=96\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\frac{HB}{9}=\frac{HC}{25}=\frac{HB+HC}{9+25}=\frac{96}{34}=\frac{48}{17}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}HB=\frac{48}{17}\times9=\frac{432}{17}\\HC=\frac{48}{17}\times25=\frac{1200}{17}\end{cases}}\)

Thay vào (1) ta có :  \(AH^2=\frac{432}{17}\times\frac{1200}{17}=\frac{518400}{289}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{518400}{289}}=\frac{720}{17}\)

Vậy ...

HB/HC=9/25 

Dễ ẹt;

Giả sử \(\Delta\)ABC vuông tại A có phân giác AD sao cho DC=3BD;đương cao AH

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại I => BI vuông góc AB

Vì AD là p/g góc A => góc BAD=45 nên tam giác BAI vuông cân tại B nên BA=BI

Vì BI // AC nên \(\left(\frac{BI}{AC}\right)=\left(\frac{BD}{DC}\right)=\left(\frac{BD}{3BD}\right)=\frac{1}{3}\) (định lí Ta lét)

mà BI=AB nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

Cm \(\Delta\)AHC đồng dạng \(\Delta\)BHA(g.g) nên \(\frac{BH}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

nên \(BH=\frac{1}{3}AH\);\(HC=3AH\)nên \(\frac{BH}{HC}=\frac{1}{9}\)