Đáp án C

Đáp án C.

Cách 1: Tập xác định:   D = ℝ

Ta có:

y = x 3 − x 2 − x + 1 = x 6 − x 2 − x 2 + 1  

  ⇒ y ' = 6 x 5 2 x 6 − 2 x − 2 x 2 x 2 = 3 x 5 − 2 x x 6 − x . x 4 x 6

Ta thấy y' không xác định tại x=0.

- Nếu x > 0 : y ' = 3 x 2 − 2 x 4 − x 3 x 3 = 3 x 2 − 2 x − 1 ; y ' = 0 ⇒ x = 1 .

- Nếu  x < 0   : 

y ' = 3 x 5 + 2 x 4 − x 3 − x 3 = − 3 x 2 − 2 x + 1 y ' = 0 ⇒ x = − 1

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Cách 2: Đặt  t = x , t ≥ 0   . Xét hàm số f t = t 3 − t 2 − t + 1, t ≥ 0 .

Ta có: 

f ' t = 3 t 2 − 2 t − 1 ; f ' t = 0 ⇔ t = 0

Bảng biến thiên của hàm số f(t):

Ta có hàm số y = x 3 − x 2 − x + 1  là hàm số chẵn (đồ thị đối xứng qua trục Oy).

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = x 3 − x 2 − x + 1 :

Do đó hàm số   y = x 3 − x 2 − x + 1 có 3 điểm cực trị.

Đáp án A

có hai nghiệm phân biệt  

a) y′ = 3 x 2  + 2(m + 3)x + m

y′ = 0 ⇔ 3 x 2  + 2(m + 3)x + m = 0

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

y′(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = −3

Khi đó,

y′ = 3 x 2  – 3;

y′′ = 6x;

y′′(1) = 6 > 0;

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3.

b) y′ = −( m 2  + 6m) x 2  − 4mx + 3

y′(−1) = − m 2  − 6m + 4m + 3 = (− m 2  − 2m – 1) + 4 = −(m + 1)2 + 4

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

y′(−1) = − ( m + 1 ) 2  + 4 = 0 ⇔ ( m + 1 ) 2  = 4

⇔ 

Với m = -3 ta có y’ = 9 x 2  + 12x + 3

⇒ y′′ = 18x + 12

⇒ y′′(−1) = −18 + 12 = −6 < 0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

y′ = −7 x 2  − 4x + 3

⇒ y′′ = −14x − 4

⇒ y′′(−1) = 10 > 0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.

TXĐ: R\{-1}

Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.

Chọn B

y ' = m x 2 - 2 ( m - 1 ) x + 3 ( m - 2 )

Yêu cầu của bài toán ⇔ y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2  thỏa mãn: x 1 + 2 x 2 = 1