Cho tam giác ABC, P là điểm bất kì trên BC. I, I1, I2 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, APB, APC. Hạ ID vuông góc BC. Chứng minh rằng I1, I2, P, D cùng thuộc một đường tròn.
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC. P là một điểm bất kì trên BC. Gọi (I),(I1),(I2) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AP B, AP C. EF là tiếp tuyến chung ngoài khác BC của (I1),(I2) (E ∈ (I1), F ∈ (I2)). Chứng minh rằng giao điểm của BE và CF luôn nằm trên đường tròn (I).
Gọi BC tiếp xúc với (I), (I1), (I2) lần lượt tại D,M,N. AP cắt EF tại H và tiếp xúc với (I1),(I2) lần lượt tại Q,R.
Ta có \(EF=MN;EF=HE+HF=2HQ+QR;MN=PM+PN=2PR+RQ\)
Suy ra \(HE=PN\)
Lại có \(DN=PD+PN=CD-CP+PN=\frac{CA+BC-AB+CP+PA-CA-2CP}{2}\)
\(=\frac{BP+PA-AB}{2}=PM\) hay \(PN=DM\). Suy ra \(HE=DM\)
Mà tứ giác EFNM là hình thang cân nên \(HD||EM||FN\)
Nếu gọi DH cắt lại (I) tại K thì các tam giác cân \(EI_1M,KID,FI_2N\) đồng dạng có các cạnh tương ứng song song đôi một
Do đó \(II_1,DM,KE\) đồng quy tại B, \(II_2,DN,KF\) đồng quy tại C
Nói cách khác, BE và CF cắt nhau tại K. Vậy BE và CF gặp nhau trên (I).
1.cho tam giác ABC cân A, đường cao AH. trên tia đối tia BA lấy điểm E, trên cạnh AC lấy F sao cho BE=CF, EF cắt BC tại I. Đường vuông góc EF tại I cắt AH tại D. chứng minh AEDF nội tiếp.
2.Cho tam giác ABC vuông tại A, I trung điểm BC, D bất kì trên BC. E,F là tâm đường tròn ngoại tiếp ABD, ACD. cmr:A,E,I,D,F cùng thuộc 1 đường tròn.
Mong mọi người giải giúp mình ạ.
17 tháng 11 2019 lúc 10:51
Một số bài toán hay về tâm nội tiếp:Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), hai điểm K,L di chuyển trên (O) (K thuộc cung AB không chứa C, L thuộc cung AC không chứa B) thỏa mãn KL song song với BC. Gọi U và V lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác AKB,ALC. Chứng minh rằng tâm của (UAV) thuộc đường thẳng cố định.Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AD BC. AC cắt BD tại I. Gọi S,T là tâm nội tiếp các tam giác AID,BIC. M,N là trung điểm các cạnh AB,CD. Chứng minh rằng MN chia đôi ST.Bài 3: Cho tam giác AB...
Đọc tiếp
Một số bài toán hay về tâm nội tiếp:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), hai điểm K,L di chuyển trên (O) (K thuộc cung AB không chứa C, L thuộc cung AC không chứa B) thỏa mãn KL song song với BC. Gọi U và V lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác AKB,ALC. Chứng minh rằng tâm của (UAV) thuộc đường thẳng cố định.
Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC. AC cắt BD tại I. Gọi S,T là tâm nội tiếp các tam giác AID,BIC. M,N là trung điểm các cạnh AB,CD. Chứng minh rằng MN chia đôi ST.
Bài 3: Cho tam giác ABC, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Kẻ DH vuông góc EF tại H, G là trung điểm DH. Gọi K là trực tâm tam giác BIC. Chứng minh rằng GK chia đôi EF.
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. Gọi AI cắt DE,DF tại K,L; H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng bốn điểm H,K,L,M cùng thuộc một đường tròn có tâm nằm trên (Euler) của tam giác ABC.
chị gisp em bài này
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB AC).Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếpb) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn tâm O (M khác B,C) và N là điểm đối xứng của M qua BC .chứng minh tứ giác AHCN nội tiếpc) Gọi I là giao điểm của AM và CH; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh góc AJI góc ANCd) Chứng minh rằng OA vuông góc với IJ
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB< AC).Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn tâm O (M khác B,C) và N là điểm đối xứng của M qua BC .chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp
c) Gọi I là giao điểm của AM và CH; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh góc AJI = góc ANC
d) Chứng minh rằng OA vuông góc với IJ
cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Kẻ đường cao AD (D thuộc BC) và đường kính AK . Hạ BE và CF cùng vuông góc với AK ( E thuộc AK , F thuộc AK ).1) chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp.2) Chứng minh DF song song với BK3) cho góc ABC 60 độ , R4cm. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi OC , OK và cung nhỏ CK .4) cho BC cố định , A chuyển động trên cung lớn Bc sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố địn...
Đọc tiếp
cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Kẻ đường cao AD (D thuộc BC) và đường kính AK . Hạ BE và CF cùng vuông góc với AK ( E thuộc AK , F thuộc AK ).
1) chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp.
2) Chứng minh DF song song với BK
3) cho góc ABC = 60 độ , R=4cm. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi OC , OK và cung nhỏ CK .
4) cho BC cố định , A chuyển động trên cung lớn Bc sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố định.
Xem thêm câu trả lời
20 tháng 2 2022 lúc 21:01
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm là D; E; F lần lượt thuộc các cạnh BC; CA; AB. Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm P bất kì thuộc đường tròn (O) đến các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ điểm P đến các cạnh của tam giác DEF
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P di chuyển trên cung
B
C
⏜
chứa A của (O). I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC.1). Chứng minh rằng B, I, Q, C cùng nằm trên một đường tròn.2) Trên tia BQ, CQ lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
B
M
B
I
,
C
N
C
I
. Chứng m...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P di chuyển trên cung B C ⏜ chứa A của (O).
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC.
1). Chứng minh rằng B, I, Q, C cùng nằm trên một đường tròn.
2) Trên tia BQ, CQ lần lượt lấy các điểm M, N sao cho B M = B I , C N = C I . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
1) Ta có
B I C ^ = 180 0 − I B C ^ − I C B ^ = 180 0 − A B C ^ 2 − A C B ^ 2 = 180 0 − 180 ∘ − B A C ^ 2 = 90 0 + B A C ^ 2 ⇔ B A C ^ = 2 B I C ^ − 180 °
Tương tự B Q C ^ = 90 0 + B P C ^ 2 ⇔ B P C ^ = 2 B Q C ^ − 180 ° .
Tứ giác BPAC nội tiếp, suy ra B A C ^ = B P C ^ ⇒ B Q C ^ = B I C ^ , nên 4 điểm B, I, Q, C thuộc một đường tròn.
2) Gọi đường tròn (B; BI) giao (C; CI) tại K khác I thì K cố định.
Góc I B M ^ là góc ở tâm chắn cung I M ⏜ và I K M ^ là góc nội tiếp chắn cung I M ⏜ , suy ra I K M ^ = 1 2 I B M ^ (1).
Tương tự I K N ^ = 1 2 I C N ^ (2).
Theo câu 1) B, I, Q, C thuộc một đường tròn, suy ra I B M ^ = I B Q ^ = I C Q ^ = I C N ^ (3).
Từ (1), (2) và (3), suy ra I K M ^ = I K N ^ ⇒ K M ≡ K N .
Vậy MN đi qua K cố định.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C cùng nằm trên một đường tròn.
Xem thêm câu trả lời
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AK và CI của tam giác ABC cắt nhau tại H (K thuộc BC, I thuộc AB).a) Chứng minh rằng: góc BAK bằng góc BCI.b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Các điểm N, P lần lượt là điểm đối xứng với M qua AB, AC. CMR: Tứ giác AHCP nội tiếp đường tròn.c) Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng NP lớn nhất.
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AK và CI của tam giác ABC cắt nhau tại H (K thuộc BC, I thuộc AB).
a) Chứng minh rằng: góc BAK bằng góc BCI.
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Các điểm N, P lần lượt là điểm đối xứng với M qua AB, AC. CMR: Tứ giác AHCP nội tiếp đường tròn.
c) Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng NP lớn nhất.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC. Lấy 1 điểm M bất kì trên cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B,C). Lấy điểm P đối xứng với điểm M qua cạnh AC. Chứng minh rằng AHCP nội tiếp đường tròn
Chú ý góc APC = góc AMC ( t/c đối xứng)
Mà góc AMC = Góc ABC
Chú ý : CH vuông góc AB
Từ đây có ngay kết quả nhe
Đúng 0
Bình luận (0)
