Lời giải:

Đặt $\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}=k$

$\Rightarrow a=2012k; b=2013k; c=2014k$. Khi đó:

$A=4(a-b)(b-c)(c-a)=4(2012k-2013k)(2013k-2014k)(2014k-2012k)$

$=4(-k)(-k)(2k)=8k^3$

Giải

a, 2A+3B=0 <=> \(\dfrac{10}{2m+1}+\dfrac{12}{2m-1}=0\)

<=>10(2m-1)+ 12(2m+1) =0

<=> 44m +2 =0 

<=> m=-1/22

b, AB= A+B <=> \(\dfrac{20}{\left(2m-1\right)\left(2m+1\right)}=\dfrac{5}{2m+1}+\dfrac{4}{2m-1}\)

<=> 20 = 5(2m -1) + 4(2m+1) 

<=> 20 = 18m - 1

<=> m=7/6

Ta có: \(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\\c^2+1=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

Mặt khác: \(a+b+c-abc=a\left(1-bc\right)+b+c\)

                \(=a\left(ab+ca\right)+b+c\)     (Vì ab+bc+ca=1)

               \(=\left(a^2+1\right)\left(b+c\right)\)

               \(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)    (Vì \(a^2+1=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\))

\(T=1\)

Để tìm Max M thì ta cần c/m \(a^2+b^2\le ab+1\)

Giả sử điều cần c/m là đúng , khi đó , ta có : 

\(a^2+b^2\le ab+1\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le a+b\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)\) ( do \(a^3+b^3=a^5+b^5\))

\(\Leftrightarrow a^6+2a^3b^3+b^6\le a^6+a^5b+b^5a+b^6\)

\(\Leftrightarrow2a^3b^3\le a^5b+b^5a\)

\(\Leftrightarrow a^5b+b^5a-2a^3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-b^2\right)\ge0\) ( điều này luôn đúng với a ; b dương ) 

=> Điều giả sử là đúng 

\(\Rightarrow a^2+b^2\le ab+1\)

\(\Rightarrow M=a^2+b^2-ab\le1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}ab=0\\a^2-b^2=0\end{cases}}\)  

\(\Leftrightarrow a=0\) hoặc \(b=0\)hoặc \(a^2=b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2\)( a ,  b dương ) 

\(\Leftrightarrow a=b\)

Thế a = b vào b/t \(a^3+b^3=a^5+b^5\), ta có : 

\(2a^3=2a^5\)

\(\Leftrightarrow a^3=a^5\)\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^5}=1\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}=1\Leftrightarrow a=1\left(a>0\right)\)

\(\Leftrightarrow b=1\)

Vậy ...

Nguyen quang trung dung , trẻ trâu như mày quê tao đầy