Ta có \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}=k^2\Leftrightarrow2n^2-n-26k^2=0\)

\(\Delta=208k^2+1=t^2\)(vì n nguyên dương)

\(\Rightarrow\left(t+4\sqrt{13}k\right)\left(t-4\sqrt{13}k\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t+4\sqrt{13}k=1\\t-4\sqrt{13}k=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k=0\\t=1\end{cases}}}\)

Thế vào tìm được \(\orbr{\begin{cases}n=0\\n=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy không có giá trị n nguyên dương nào thỏa mãn cái đó

\(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}\text{ là SCP }\Leftrightarrow n\left(2n-1\right)=26k^2\)

\(\Delta_n=208k^2+1=y^2\Leftrightarrow y^2-208k^2=1\underrightarrow{\text{PELL}}\)

\(k=\pm\frac{\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m}{8\sqrt{13}}\)

\(n=\frac{1}{8}\left[-\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m+2\right]\left(m\inℤ,m\ge0\right)\)

 Fan chân chính của anh slen

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 4n^2-2n-5)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 4n^2-2n-5\vdots d$

$\Rightarrow 4(n+1)^2-(4n^2-2n-5)\vdots d$
$\Rightarrow 10n+9\vdots d$

$\Rightarrow 10(n+1)-1\vdots d$

Mà $n+1\vdots d$ nên $1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $n+1, 4n^2-2n-5$ nguyên tố cùng nhau. Để $(n+1)(4n^2-2n-5)$ là scp thì bản thân mỗi số $n+1, 4n^2-2n-5$ là scp.

Đặt $n+1=a^2; 4n^2-2n-5=b^2$

$\Rightarrow 4(a^2-1)^2-2(a^2-1)-5=b^2$

$\Leftrightarrow 4a^4-8a^2+4-2a^2+2-5=b^2$

$\Leftrightarrow 4a^4-10a^2+1=b^2$

$\Leftrightarrow 16a^4-40a^2+4=4b^2$
$\Leftrightarrow (4a^2-5)^2-21=4b^2$

$\Leftrightarrow 21=(4a^2-5)^2-(2b)^2=(4a^2-5-2b)(4a^2-5+2b)$

Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản, chỉ cần xét các TH để tìm ra $a,b$

không dùng denta