\(\left(x^2-x+1\right)\left(xy+y^2\right)=3x-1\left(1\right)\)

\(3x-1⋮x^2-x+1\)

zì \(lim\left(x\rightarrow\infty\right)\frac{3x-1}{x^2-x+1}=0\)

zà thấy x=2 thỏa mãn ,=> x=1

thay zô 1 ta có

\(1\left(y+y^2\right)=2=>y^2+y-2=0=>\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-2\end{cases}}\)

zậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,1\right)\left(1,-2\right)\right\}\)

\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)

Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm. 

\(x^2\left(y-5\right)-xy=x-y+1\)

<=> \(x^2y-5x^2-xy=x-y+1\)

<=> \(y\left(x^2-x+1\right)=5x^2+x+1\)

Vì \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) nên ta có: 

pt <=> \(y=\frac{5x^2+x+1}{x^2-x+1}=5+\frac{6x-4}{x^2-x+1}\) 

y đạt giá trị nguyên <=> 6x - 4 chia hết cho x^2 - x + 1

Ta có: 6x-  4 = 2( 3x - 2 ) là số chẵn mà x^2 - x + 1 = x( x-1) + 1 là số lẻ =>3x - 2 chia hết cho x^2 - x + 1  

<=> (3x-1)  ( 3x- 2) chia hết cho x^2 - x + 1 

<=> 9x^2 -9x + 2 chia hết cho x^2 - x + 1 

mà  9x^2 - 9x + 9 chia hết cho x^2 - x + 1 

=> 7 chia hết cho x^2 - x + 1 ( chú ý là x^2 - x + 1 > 0) 

=> x^2 - x + 1 \(\in\){1; 7}

TH1: x^2 - x + 1 = 1 <=> x^2 - x = 0 <=> x = 0 => y = 1  hoặc x = 1 => y = 7

TH2: x^2 - x + 1 = 7 <=> x^2 - x - 6 = 0 <=> x = - 2 => y không thuộc Z loại  hoặc x = 3 => y = 7 

Kết luận..