Xét (O):

CD là đường kính (gt).

\(M\in\left(O\right)\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{CMD}=90^o.\\ hay\widehat{CMF}=90^o.\)

Xét tứ giác CKFM:

\(\widehat{CMF}=90^o\left(cmt\right);\widehat{CKF}=90^o\left(CK\perp KF\right).\\ \Rightarrow\widehat{CMF}+\widehat{CKF}=180^o.\)

Mà góc ở vị trí đối nhau.

\(\Rightarrow\) Tứ giác CKFM nội tiếp đường tròn (dhnb).

Xét (O): 

CD là đường kính (gt).

\(A\in\left(O\right)\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=90^o.\)

Xét \(\Delta CAD\) vuông tại A, AK là đường cao:

\(AD^{\text{2}}=DK.DC\) (Hệ thức lượng). (1)

Xét \(\Delta DKF\) và \(\Delta DMC:\)

\(\widehat{DKF}=\widehat{DMC}\left(=90^o\right).\)

\(\widehat{KDF}chung.\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta DKF\) \(\sim\) \(\Delta DMC\left(g-g\right).\)

\(\Rightarrow\dfrac{DK}{DM}=\dfrac{DF}{DC}\) (2 cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow DK.DC=DF.DM.\) (2).

Từ (1) và (2). \(\Rightarrow DF.DM=AD^{\text{2}}.\)

b: Tham khảo:

1: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB tại C

=>AC\(\perp\)BF tại C

Xét tứ giác EDBC có

\(\widehat{EDB}+\widehat{ECB}=90^0+90^0=180^0\)

=>EDBC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác ADCF có

\(\widehat{ADF}=\widehat{ACF}=90^0\)

=>ADCF là tứ giác nội tiếp

2: EDBC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DEC}+\widehat{DBC}=180^0\)

mà \(\widehat{DEC}+\widehat{IEC}=180^0\)(kề bù)

nên \(\widehat{IEC}=\widehat{DBC}\)

3: \(\widehat{IEC}=\widehat{DBC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AC}\)(góc DBC là góc nội tiếp chắn cung AC)

\(\widehat{ICE}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{CA}\)(góc ICE là góc tạo bởi tiếp tuyến IC và dây cung CA)

Do đó: \(\widehat{IEC}=\widehat{ICE}\)

=>IE=IC

\(\widehat{IEC}+\widehat{IFC}=90^0\)(ΔFCE vuông tại C)

\(\widehat{ICE}+\widehat{ICF}=\widehat{FCE}=90^0\)

mà \(\widehat{IEC}=\widehat{ICE}\)

nên \(\widehat{IFC}=\widehat{ICF}\)

=>IF=IC

mà IC=IE

nên IF=IC=IE

=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCFE

b: Tham khảo:

1: góc CND=1/2*180=90 độ

Vì góc CNE+góc CKE=180 độ

nên CNEK nội tiếp 

2: Xét ΔMNE và ΔMBC có

góc MNE=góc MBC

góc M chung

=>ΔMNE đồng dạng với ΔMBC

=>MN/MB=ME/MC

=>MN*MC=MB*ME

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔDMC nội tiếp

DC là đường kính

Do đó: ΔDMC vuông tại M

=>CM\(\perp\)MD tại M

=>CM\(\perp\)AD tại M

Xét tứ giác AMHC có \(\widehat{AMC}=\widehat{AHC}=90^0\)

nên AMHC là tứ giác nội tiếp