Ta có a² - (b - c)²  <= a² 

<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a²

Tương tự

(b-c+a)(b-a+c) <= b²

(c-a+b)(c-b+a) <= c²

Từ đó ta có (b-c+a)²(b-a+c)²(c-b+a)² <= a² b² c²

<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc (nhân vô chuyển vế nha)

<=> (a² b + a² c) + (b² a + b² c) + (c² a + c² b) <= a³ + b³ + c³ + 3abc

<=> a² (a+b+c) + b² (a+b+c) + c² (a+b+c) <= 2(a³ + b³ + c³) + 3abc ( cộng 2 vế cho  

Ta có a² - (b - c)²  <= a² 

<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a²

Tương tự

(b-c+a)(b-a+c) <= b²

(c-a+b)(c-b+a) <= c²

Từ đó ta có (b-c+a)²(b-a+c)²(c-b+a)² <= a² b² c²

<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc

<=> (a² b + a² c) + (b² a + b² c) + (c² a + c² b) <= a³ + b³ + c³ + 3abc

<=> a² (a+b+c) + b² (a+b+c) + c² (a+b+c) <= 2(a³ + b³ + c³) + 3abc (cộng 2 vế cho  a³ + b³ + c³)

<=> a² + b² + c² <= 2(a³ + b³ + c³ ) + 3abc

Xong

\(a_1,\sqrt{x}< 7\\ \Rightarrow x< 49\\ a_2,\sqrt{2x}< 6\\ \Rightarrow x< 18\\ a_3,\sqrt{4x}\ge4\\ \Rightarrow4x\ge16\\ \Rightarrow x\ge4\\ a_4,\sqrt{x}< \sqrt{6}\\ \Rightarrow x< 6\)

\(b_1,\sqrt{x}>4\\ \Rightarrow x>16\\ b_2,\sqrt{2x}\le2\\ \Rightarrow2x\le4\\ \Rightarrow x\le2\\ b_3,\sqrt{3x}\le\sqrt{9}\\ \Rightarrow3x\le9\\ \Rightarrow x\le3\\ b_4,\sqrt{7x}\le\sqrt{35}\\ \Rightarrow7x\le35\\ \Rightarrow x\le5\)

Mình cám ơn Hà Quang Minh rất nhiều

1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

4ac=2.b.2c≤2(b+2c2)2≤2(a+b+2c2)2=2.(12)2=12

⇒−4bc≥−12

⇒K=ab+4ac−4bc≥−4bc≥−12

1.

Ta sẽ chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Do vai trò a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}\\y=b+\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y=a+b+c\)

Đồng thời \(b^2+c^2=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c\left(3c-4b\right)}{4}\le\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2=y^2\)

Tương tự: \(a^2+c^2\le x^2\) ; \(a^2+b^2\le x^2+y^2\)

Do đó: \(A\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{10}{\left(x+y\right)^2}\)

Mà \(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{4xy}\) nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{5}{2xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(2x^2+2y^2-xy\right)}{2x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(A\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{10}{3^2}=\dfrac{10}{9}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị của chúng

2.

Ta có: \(B=\dfrac{ab+1-1}{1+ab}+\dfrac{bc+1-1}{1+bc}+\dfrac{ca+1-1}{1+ca}\)

\(B=3-\left(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+ca}+\dfrac{1}{1+ab}\right)\)

Đặt \(C=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)

Ta có: \(C\ge\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{27}{13}\)

\(\Rightarrow B\le3-\dfrac{27}{13}=\dfrac{12}{13}\)

\(B_{max}=\dfrac{12}{13}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

Do \(a;b;c\in\left[0;1\right]\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+b+c=2\)

\(\Rightarrow abc+ab+c+1\ge ab+c+1\ge2\)

\(\Rightarrow\left(c+1\right)\left(ab+1\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{c+1}{2}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: 

\(\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{a+1}{2}\) ; \(\dfrac{1}{ca+1}\le\dfrac{b+1}{2}\)

Cộng vế: \(C\le\dfrac{a+b+c+3}{2}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow B\ge3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(B_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị của chúng