a, Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-2xy-xy\right)\)

\(=1\left(1^2-3\left(-1\right)\right)=1\left(1^2+3\right)=4\)

b, Ta có : \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(\left(x-y\right)^2+3xy\right)\)

\(=1\left(1+3.9\right)=19\)

ai giúp câu này với

Áp dụng BĐT cosi ta có:

`x^6+y^6+z^6>=3root{3}{x^6y^6z^6}=3x^2y^2z^2`

`=>3x^2y^2z^2<=3`

`=>x^2y^2z^2<=1`

`=>xyz<=1`

`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)`

`=(x^4)/(xyz)+(y^4)/(xyz)+(z^4)/(xyz)>=x^4+y^4+z^4(@)`

Áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số `(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)`

`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^3+y^3+z^3)^3`

Mà `(x^3+y^3+z^3)^2>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`

`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(@@)`

Áp dụng BĐT cosi ta có:

`x^6+1+1>=3root{3}{x^6}=3x^2`

`y^6+1+1>=3y^2`

`z^6+1+1>=3z^2`

`=>x^6+y^6+z^6+6>=3(x^2+y^2+z^2)`

`=>9>=3(x^2+y^2+z^2)`

`=>x^2+y^2+z^2<=3`

Kết hợp với `(@@)`

`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`

`=>x^4+y^4+z^4>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`

Kếp hợp với `(@)`

`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`

Dấu = xảy ra khi `x=y=z=1`

Sửa đề : cm\(x^2+y^2+z^2\ge3\)

Theo bunhiacopxki ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+yz\right|\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)

Lại có : \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)(Cauchy)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)(2)

Cộng vế với vế của (1) ; (2) ta có :

\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(xy+yz+xz+x+x+z\right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{12}{3}-1=3\)

Ta có: 
x2+y2>=2xy {1} 
y2+z2>=2yz {2} 
x2+z2>=2xz {3} 

cộng{1},{2}và{3}:2{x2+y2+z2}>=2{xy+yz+... 
x2+y2+z2>=xy+yz+xz 
ta có:x+y+z+xy+yz+xz=6 
xy+yz+xz=6-{x+y+z} 
để cho bđt có nghĩ khi và chỉ khi:x=y=z=1 
suy ra:x+y+z=3 
vậy:x2+y2+z2>=6-{x+y+z} 
x2+y2+z2>=3

áp dụng BĐT (a - b)² ≥ 0 → a² + b² ≥ 2ab ta có: 
x² + y² ≥ 2xy 
x² + 1 ≥ 2x 
y² + z² ≥ 2yz 
y² + 1 ≥ 2y 
z² + x² ≥ 2xz 
z² + 1 ≥ 2z 
Cộng theo vế → 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 2.6 = 12 
→ x² + y² + z² ≥ 9/3 = 3 

Mình tự làm tận 1h nên hơi dài 1 tí nhưng chắc chắn đúng đó :))

Ta có: x² + y² + xy .- 3x - 3y + 3 = 0

     =>( x² - 2x + 1) - x + ( y² - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0

     => (x-1)² + (y-1)² + ( -x + -y + xy +1) = 0

     => (x-1)² + (y-1)²  + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0

    => (x-1)² + (y-1)² + [ x(y-1) - (y-1)] = 0

    => (x-1)² + (y-1)² + (x-1)(y-1) = 0

    => (x-1)² +  2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)².(y-1)² + 3/4.(y-1)² = 0

    => [x-1+1/2(y-1) ]² + 3/4.(y-1)²  = 0

   Vì: [x-1+1/2(y-1) ]²  >= 0 với mọi x;y thuộc R

         3/4.(y-1)^{2 >= 0 với mọi y thuộc R}

     => (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)

     => (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)

      => x = y =1

Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{x^2+y^2}{2}\)

Suy ra: \(P=6\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+8\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]+\frac{5}{xy}\)

\(\ge6\left(1-\frac{3}{4}\right)+8\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\frac{5}{\frac{1}{4}}\) (Do x+y=1) \(\Rightarrow P\ge6-\frac{9}{2}+2-1+20=\frac{45}{2}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2.