a, HS tự chứng minh

b, HS tự chứng minh

c, DAEH vuông nên ta có: KE = KA = 1 2 AH

=> DAKE cân tại K

=>  K A E ^ = K E A ^

DEOC cân  ở O =>  O C E ^ = O E C ^

H là trực tâm => AH  ^ BC

Có  A E K ^ + O E C ^ = H A C ^ + A C O ^ = 90 0

(K tâm ngoại tiếp) => OE ^ KE

d, HS tự làm

a: góc BDC=góc BEC=90 độ

=>CD vuông góc AB, BE vuông góc AC

góc ADH+góc AEH=180 độ

=>ADHE nội tiếp

HS tự làm

a) Xét (O,R)(O,R) đường kính BCBC có

ˆBFC=ˆBEC=90oBFC^=BEC^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ˆAFH=ˆAEH=90o⇒AFH^=AEH^=90o

Tứ giác AFHEAFHE có ˆAFH+ˆAEH=180oAFH^+AEH^=180o

⇒AEFH⇒AEFH thuộc đường tròn đường kính (AH)(AH)

Tâm II là trung điểm của AHAH.

b) Xét ΔAHEΔAHE và ΔBHDΔBHD có:

 ˆAEH=ˆBDH=90oAEH^=BDH^=90o

ˆAHE=ˆBHDAHE^=BHD^ (đối đỉnh)

⇒ΔAHE∼ΔBHD⇒ΔAHE∼ΔBHD (g-g)

⇒HEHD=HAHB⇒HEHD=HAHB (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) 

Mà HA=2HIHA=2HI

⇒HE.HB=2HD.HI⇒HE.HB=2HD.HI

c) Tứ giác AEHFAEHF nội tiếp đường tròn đường kính (AH)(AH) chứng minh câu a

⇒IE=IH=R⇒ΔIEH⇒IE=IH=R⇒ΔIEH cân đỉnh II

⇒ˆIEH=ˆIHE⇒IEH^=IHE^

ˆIHE=ˆBHDIHE^=BHD^ (đối đỉnh)

Từ hai điều trên ⇒ˆIEH=ˆBHD⇒IEH^=BHD^

ˆHEO=ˆHBDHEO^=HBD^ (do ΔOEBΔOEB cân đỉnh O)

⇒ˆIEO=ˆIEH+ˆHEO=ˆBHD+ˆHBD=90o⇒IEO^=IEH^+HEO^=BHD^+HBD^=90o (do ΔDHB⊥DΔDHB⊥D)

⇒IE⊥EO⇒IE⇒IE⊥EO⇒IE là tiếp tuyến của (O)(O).

Chứng minh tương tự

ˆIFH=ˆIHF=ˆDHCIFH^=IHF^=DHC^

ˆHFO=ˆOCHHFO^=OCH^

⇒ˆIFO=ˆDHC+ˆOCH=90o⇒IFO^=DHC^+OCH^=90o

⇒IF⊥FO⇒IF⇒IF⊥FO⇒IF là tiếp tuyến của (O)(O)

a: góc ADH+góc AEH=180 độ

=>ADHE nội tiếp

b: góc EDH=góc BAF

góc FDH=góc ECB

mà góc BAF=góc ECB

nên góc EDH=góc FDH

=>DH là phân giác của góc EDF

a: Xét tứ giác ADHE có

góc AdH+góc AEH=180 độ

=>ADHElà tứ giác nội tiếp

I là trung điểm của AH

b: Xét tứ giác BEDC có

góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC là tứ giác nội tiếp

góc EDB=góc BAF

góc FDB=góc ECB
mà góc BAF=góc ECB

nên góc EDB=góc FDB

=>DB là phân giác của góc EDF

a/ Ta có góc BDC=90 độ ( góc nt chăn nửa đường tròn)

suy ra góc ADH = 90 độ ( kề bù ) 

góc BEC= 90 độ ( góc nt chắn nửa đường tròn) 

suy ra góc AEH = 90 độ ( kề bù )

Tư giác ADHE có góc ADH + góc AEH = 90 độ + 90 độ = 180 độ 

Hại góc ở vị tri đối nhau . Do đó tứ giác ADHE nt đường tròn.

b/

c/Ta có góc BDC = 90 độ ( góc nt chắn nửa đt)

góc BEC = 90 độ ( góc nt chắn 1/2 đt)

Tứ giác BDEC có hai đỉnh kề D và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông . Do đó tứ giác BDEC nt 

suy ra góc BDE + góc BCE = 180 độ      (1)

Mặt khác : góc ADE + góc BDE = 180 độ ( kề bù ) (2) 

(1) (2) suy ra góc ADE = góc ACB 

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có 

goc BAC chung 

goc ADE = góc BAC (cmt)

suy ra tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB (g.g)

nên AD/AC = AE/AB

hay AD.AB =AE.AC.