Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Có \(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)\(=x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+y^2+2y.\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\)\(=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(x^2\)và \(y^2\), ta có: \(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

Tương tự, ta có \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}\)

Từ đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)\(=32xy+\frac{2}{xy}-30xy+4\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(32xy\)và \(\frac{2}{xy}\), ta có: \(32xy+\frac{2}{xy}\ge2\sqrt{32xy.\frac{2}{xy}}=16\)

Lại có \(xy\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-xy\ge-\frac{1}{4}\)nên \(K\ge16-\frac{30}{4}+4=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của K là \(\frac{25}{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(K=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+4=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16x^2}+\dfrac{15}{16y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{2.15}{16xy}=5+\dfrac{2.15}{16xy}\)

\(x+y\ge2\sqrt{xy};\Rightarrow2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow K\ge5+\dfrac{2.15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{25}{2}\)

Bạn dùng kĩ thuật chọn điểm rơi nhé.

Phân tích đến chỗ \(K=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)đúng k?

Dự đoán K đạt GTNN khi \(x=y=\frac{1}{2}\), vậy các BĐT trong quá trình giải phải đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vì vậy ta có thể dùng \(x^2+y^2\ge2xy\); \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)

Do đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)

Lúc này ta tìm điều kiện của \(xy\)

Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)(vẫn đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\))

Vấn đề bây giờ là nếu áp dụng thẳng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(2xy\)và \(\frac{2}{xy}\), khi đó dấu "=" xảy ra khi \(2xy=\frac{2}{xy}\Leftrightarrow4\left(xy\right)^2=2\Leftrightarrow xy=\frac{1}{\sqrt{2}}\ge\frac{1}{4}\)(trái với \(xy\le\frac{1}{4}\))

Do đó ta cần tách 2xy thành 2 hạng tử trong đó có 1 hạng tử \(kxy\)khi áp dụng Cô-si với \(\frac{2}{xy}\)sẽ đảm bảo dấu "=" xảy ra. (cụ thể là khi \(kxy=\frac{2}{xy}\)

Mà ta đã dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\), khi đó \(\frac{2}{xy}=\frac{2}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}=8\), do đó \(kxy=8\)hay \(k.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=8\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}k=8\Leftrightarrow k=32\)Vậy bạn thấy tớ tách như bài làm trên 

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

1) có \(2y\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+\frac{1}{4\sqrt{xy}}\right)^2+\frac{15}{16xy}+\frac{1}{2}\ge\frac{15}{16}\cdot4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bổ đề: \(2xy\le x^2+y^2\)

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{2xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{5}{x^2+y^2}\ge5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b/

\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=16+8+20=44\)

\(\Rightarrow B\ge11\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

2/

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(Q\ge2xy+\frac{2}{xy}=2xy+\frac{1}{8xy}+\frac{15}{8xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{8xy}}+\frac{15}{2\left(x+y\right)^2}\ge1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Đặt: \(\frac{1}{y}=t\)> 0

Ta có: \(x+t\le1\)

\(P=\frac{xt}{2}+\frac{1}{xt}=\frac{xt}{2}+\frac{1}{32xt}+\frac{31}{32xt}\ge2\sqrt{\frac{xt}{2}.\frac{1}{32xt}}+\frac{31}{\frac{32\left(x+t\right)^2}{4}}=\frac{33}{8}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = t = 1/2 hay x = 1/2 và y = 2 

Vậy GTNN của P = 33/8 đạt tại x =1/2 và y =2 .