a)Có \(\widehat{MEC}=\widehat{MFC}\left(=90^0\right)\)

=>Tứ giác MECF nội tiếp

b)Có \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\(\widehat{ACB}=\widehat{EMF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đt ngoại tiếp tứ giác MECF)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

Tương tự cũng có: \(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}=\left(\widehat{ECM}\right)\)

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta MEF\) có:

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}\)

nên \(\Delta BMA\sim\Delta FME\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{FM}=\dfrac{BA}{FE}\) \(\Leftrightarrow BM.EF=AB.FM\)

c) Gọi \(K=FE\cap AB\)

Có \(\widehat{MFK}=\widehat{ABM}\left(=\widehat{ECM}\right)\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác BKMF nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BKM}+\widehat{MFB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BKM}=90^0\)

Có: \(\widehat{PAM}+\widehat{BCM}=180^0\) (vì BAMC nội tiếp do bốn đỉnh cùng thuộc đt tâm O)

\(\widehat{MCB}+\widehat{MEF}=180^0\) (vì EMCF nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{PAM}=\widehat{MEQ}\) mà \(\dfrac{AP}{EQ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{1}{2}EF}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{AM}{EM}\)

=> Tam giác APM và EQM đồng dạng (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{EQM}\) hay góc KPM= góc KQM

\(\Rightarrow\) Tứ giác KPQM nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{PKM}+\widehat{MQP}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MQP}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta MQP\) vuông tại Q

=> PM²=MQ²+PQ² 

(toi xỉu)

a: góc BIM=góc BHM=90 độ

=>BMHI nội tiếp

b: góc CBM=góc MAC=góc MAK

=>góc MAK=góc MIK

a: góc CDM=góc CEM=90 độ

=>CDEM nội tiếp

b: Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có

góc EMA chung

=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB

=>ME/MD=MA/MB

=>ME*MB=MA*MD

a. góc CDM=góc CEM=90 độ

=>CDEM nội tiếp

b. Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có

góc EMA chung

=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB

=>ME/MD=MA/MB

=>ME*MB=MA*MD

a, Xét tứ giác CDME có 

^MEC = ^MDC = 90⁰

mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh MC 

Vậy tứ giác CDME là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, bạn ktra lại đề 

mik ko bt lm bài này bn à . mik thông minh lắm mấy bn mới ngu ấy

a) Ta có: Điểm K đối xứng với điểm F qua AC => FC=KC;  AF=AK 

=> \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK (c.c.c) => ^AFC=^AKC (2 góc tương ứng) 

Ta thấy tứ giác ABFC nội tiếp đường tròn tâm O => ^AFC=^ABC.

H là trực tâm của tam giác ABC => CH\(\perp\)AB (tại D)

=> ^HCB + ^ABC = 90⁰ (1)

 Lại có AH\(\perp\)BC => ^LHC + ^HCB = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ABC=^LHC. Mà ^LHC + ^AHC = 180⁰

=> ^ABC + ^AHC = 180⁰. Do ^ABC=^AFC=^AKC (cmt) => ^AKC + ^AHC= 180⁰

Xét tứ giác AHCK có: ^AKC + ^AHC =180⁰ => Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) AO cắt GI tại Q

Gọi giao điểm của AO và (O) là P = >^ACP=90⁰ => ^CAP+^CPA=90⁰ (*)

Thấy tứ giác ACPB nội tiếp đường tròn (O) => ^CPA=^ABC 

Mà ^ABC+^AHC=180⁰ => ^CPA+^AHC=180⁰ (3).

Ta có tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp (cmt) => ^KAI=^CHI

Lại có \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK => ^FAC=^KAC hay ^KAI=^GAI  => ^GAI=^CHI

Xét tứ giác AHGI: ^GAI=^GHI (=^CHI) (cmt) = >Tứ giác AHGI nội tiếp đường tròn

=> ^AIG+^AHG=180⁰ hay ^AIG + ^AHC=180⁰ (4)

Từ (3) và (4) => ^AIG=^CPA (**)

Từ (*) và (**) => ^CAP+^AIG=90⁰ hay ^IAQ+^AIQ=90⁰ => \(\Delta\)AIQ vuông tại Q

Vậy AO vuông góc với GI (đpcm).

Tham khảo

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-nhon-noi-tiep-duong-tron-o-tren-canh-bc-lay-diem-d-sao-cho-abc-cad-k-la-duong-tron-noi-tiep-tam-giac-adc-e-la-chan-duong-p.205346682394

a) Ta có : \(\widehat{O_1}=2\widehat{C}=120^0\) (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AB) nên độ dài cung nhỏ AB là \(\frac{2R\pi.120}{360}=\frac{2}{3}R\pi\)

b) \(\Delta AMC\)cân tại M (MC = MA) có \(\widehat{C}=60^0\)nên \(\Delta AMC\)đều\(\Rightarrow\widehat{AMC}=60^0\Rightarrow\widehat{M_1}=120^0\)

\(\Delta AOK,\Delta BMK\)có \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\)(đối đỉnh) ; \(\widehat{O_1}=\widehat{M_1}=120^0\Rightarrow\Delta AOK\infty\Delta BMK\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AO}{OK}=\frac{BM}{MK}\Rightarrow MK.AO=OK.MB\)

c) Tứ giác ABMO có \(\widehat{O_1}=\widehat{M_1}\)(2 đỉnh kề nhau A,M nhìn xuống cạnh đối diện dưới AB các góc bằng nhau)

=> Tứ giác ABMO nội tiếp hay B,M,O,A cùng thuộc 1 đường tròn