a: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM\(\perp\)BC tại M

Xét tứ giác KAOM có

\(\widehat{OAK}+\widehat{OMK}=90^0+90^0=180^0\)

=>KAOM là tứ giác nội tiếp

=>K,A,O,M cùng thuộc một đường tròn

b: AH\(\perp\)BC

OM\(\perp\)BC

Do đó: AH//OM

Xét ΔNAH có

O là trung điểm của NA

OM//AH

Do đó: M là trung điểm của NH

Xét tứ giác BHCN có

M là trung điểm chung của BC và HN

=>BHCN là hình bình hành

c: Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>CN\(\perp\)CA

BHCN là hình bình hành

=>BH//CN

Ta có: BH//CN

CN\(\perp\)CA

Do đó: BH\(\perp\)AC

Xét ΔABC có

BH,AH là các đường cao

BH cắt AH tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

1: Xét (O) có 

OI là một phần đường kính

BC là dây

I là trung điểm của BC

Do đó: OI\(\perp\)BC

Xét tứ giác OAMI có 

\(\widehat{OAM}+\widehat{OIM}=180^0\)

Do đó: OAMI là tứ giác nội tiếp

hay O,A,M,I thẳng hàng

giúp mình phần 4 với

Ai làm giúp với =((

a) ΔOBCΔOBC có OB=OC=ROB=OC=R nên ΔOBCΔOBC cân đỉnh OO,

có OMOM là đường trung tuyến nên OMOM cũng là đường cao

⇒OM⊥CB⇒OM⊥CB

⇒ˆOMB=90o⇒OMB^=90o

Tứ giác AOMKAOMK có ˆOMK+ˆOAK=90o+90o=180oOMK^+OAK^=90o+90o=180o

Do đó AOMKAOMK nội tiếp đường tròn đường kính (OK)(OK)

b) Xét ΔAHNΔAHN có:

OM∥AHOM∥AH (vì cùng ⊥BC⊥BC)

OO là trung điểm của ANAN

⇒OM⇒OM là đường trung bình ΔAHNΔAHN

⇒M⇒M là trung điểm HNHN

Tứ giác BHCNBHCN có hai đường chéo CBCB và HNHN cắt nhau tại MM là trung điểm của mỗi đường

⇒BHCN⇒BHCN là hình bình hành.

c) Ta có ΔACNΔACN nội tiếp đường tròn (O)(O) đường kính ANAN

nên ˆACN=90o⇒CN⊥ACACN^=90o⇒CN⊥AC

Tứ giác BHCNBHCN là hình bình hành

⇒BH∥CN⇒BH∥CN mà CN⊥ACCN⊥AC

⇒BH⊥AC⇒BH⊥AC

Lại có AH⊥BCAH⊥BC

ΔABCΔABC có BHBH và CHCH là 2 đường cao cắt nhau tại HH

nên HH là trực tâm ΔABCΔABC

d) MM là trung điểm cạnh BCBC

Lấy điểm O′O′ đối xứng với OO qua MM do B,CB,C cố định suy ra MM cố đinh suy ra O′O′ cố định

Ta có: OM∥AHOM∥AH (vì vùng ⊥BC⊥BC)

⇒OO′∥AH⇒OO′∥AH,

OMOM là đường trung bình ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′

Do đó AOO′HAOO′H là hình bình hành

⇒O′H=OA=R⇒O′H=OA=R không đổi

Dựng hình bình hành HO′KTHO′KT ta được KT∥O′HKT∥O′H và có KT=O′HKT=O′H nên TT cố định

TH=O′K=OKTH=O′K=OK

Vậy H∈(T;KO)

Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi . 

OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh

a, Chú ý:  A M O ^ = A I O ^ = A N O ^ = 90 0

b,  A M B ^ = M C B ^ = 1 2 s đ M B ⏜

=> DAMB ~ DACM (g.g)

=> Đpcm

c, AMIN nội tiếp => A M N ^ = A I N ^

BE//AM => A M N ^ = B E N ^

=>   B E N ^ = A I N ^ => Tứ giác BEIN nội tiếp =>  B I E ^ = B N M ^

Chứng minh được:  B I E ^ = B C M ^ => IE//CM

d, G là trọng tâm DMBC Þ G Î MI

Gọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = 1 2 AO

Từ G kẻ GG'//IK (G' Î MK)

=>  G G ' I K = M G M I = M G ' M K = 2 3 I K = 1 3 A O  không đổi   (1)

MG' =  2 3 MK => G' cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G'; 1 3 AO)