Cho x, y t/m \(\hept{\begin{cases}\text{x, y }\varepsilon R\\0\le x;y\le\frac{1}{2}\end{cases}}\). CMR: \(\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho x, y t/m \(\hept{\begin{cases}\text{x, y }\varepsilon R\\0\le x;y\le\frac{1}{2}\end{cases}}\). CMR: \(\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Từ gt => \(\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y\right)\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\sqrt{xy}\left(1\right)\\x\sqrt{x}\le x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}};y\sqrt{y}\le y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)
Lại có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le xy+\frac{1}{4}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)\left(3\right)\\\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\left(4\right)\end{cases}}}\)
Từ (1)(2)(3) và (4) ta có:
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\)
\(\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(1+x+y+xy\right)\)
=> \(VT=\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1+x+y+xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y\in R\\0\le x,y\le\frac{1}{2}\end{cases}}\)
CMR : \(\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Từ gt => \(\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{y}\right)\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\sqrt{xy}\left(1\right)\\x\sqrt{x}\le x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}};y\sqrt{y}\le y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)
Lại có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le xy+\frac{1}{4}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)\left(3\right)\\\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\left(4\right)\end{cases}}}\)
Từ (1)(2)(3)(4) ta có:\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\)
\(\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(1+x+y+xy\right)\)
=> \(VT=\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1+x+y+xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x+y\le\frac{4}{5}\end{cases}}\) Tìm giá trị nhỏ nhât của S=x+y+\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)
Cho\(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2+z^2\le x+y\end{cases}}\)Tìm Max A=x+3y
Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:a,hept{begin{cases}2x-1le0-3x+5le0end{cases}}b,hept{begin{cases}3-y 02x-3y+10end{cases}}c,hept{begin{cases}x-2y 0x+3y-2end{cases}}d,hept{begin{cases}3x-2y-6ge02left(x-1right)+frac{3y}{2}le4xge0end{cases}}e,hept{begin{cases}x-y0x-3yle-3x+y5end{cases}}f,hept{begin{cases}x-3y 0x+2y-3y+x 2end{cases}}
Đọc tiếp
Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
a,\(\hept{\begin{cases}2x-1\le0\\-3x+5\le0\end{cases}}\)
b,\(\hept{\begin{cases}3-y< 0\\2x-3y+1>0\end{cases}}\)
c,\(\hept{\begin{cases}x-2y< 0\\x+3y>-2\end{cases}}\)
d,\(\hept{\begin{cases}3x-2y-6\ge0\\2\left(x-1\right)+\frac{3y}{2}\le4\\x\ge0\end{cases}}\)
e,\(\hept{\begin{cases}x-y>0\\x-3y\le-3\\x+y>5\end{cases}}\)
f,\(\hept{\begin{cases}x-3y< 0\\x+2y>-3\\y+x< 2\end{cases}}\)
cho \(x,y\in R\)thỏa mãn\(\hept{\begin{cases}0\le x\le3\\0\le y\le4\end{cases}}\)
Tìm GTLN của \(A=\left(3-x\right)\left(4-y\right)\left(2x+3y\right)\)
các bạn giải giúp mình nhanh lên nhé :)
A=(6-2x)(12-3y)(2x+3y)/6
<=(6-2x+12-3y+2x+3y)3/(6.27)
=183/(6.27)=36
cho \(x,y\ge1\) c/m \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)cho \(a,b,c\in R\) ,\(\hept{\begin{cases}a+b+c=2\\ab+bc+ac=1\end{cases}}\)C/m \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
Xem chi tiết
1)Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x\sqrt{y-1}\le\frac{x\left(y-1+1\right)}{2}=\frac{xy}{2}\)
\(y\sqrt{x-1}\le\frac{y\left(x-1+1\right)}{2}=\frac{xy}{2}\)
Cộng thei vế 2 BĐT cùng chiều ta có:
\(VT\le\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=\frac{2xy}{2}=xy=VP\)
Khi x=y
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (đúng)
\(\Rightarrow2^2\ge3\cdot1\Rightarrow\frac{4}{3}\ge a,b,c\ge0\)
Khi a=b=c
Đúng 0
Bình luận (0)
Câu 2:
\(1=a\left(b+c\right)+bc\le a\left(b+c\right)+\frac{1}{4}\left(b+c\right)^2=a\left(2-a\right)+\frac{1}{4}\left(2-a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a-3a^2\ge0\Leftrightarrow a\left(4-3a\right)\ge0\Leftrightarrow0\le a\le\frac{4}{3}\)
tương tự với b,c
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}x+y=4\\2x+3y=m\end{cases}}\)
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn\(\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x+y=4\left(1\right)\\2x+3y=m\left(2\right)\end{cases}}\)
từ \(\left(1\right)\)ta có: \(x=4-y\)\(\left(3\right)\)
thay \(\left(3\right)\) vào \(\left(2\right)\)ta được
\(2.\left(4-y\right)+3y=m\)
\(8-2y+3y=m\)
\(8+y=m\)
\(y=m-8\) \(\left(4\right)\)
hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi pt \(\left(4\right)\) có nghiệm duy nhất
ta thấy pt (4) luôn có nghiệm duy nhất với \(\forall y\in R\)
vậy \(\forall y\in R\)thì hệ pt đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(4-y;m-8\right)\)
theo bài ra \(\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4-y>0\\m-8< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y>4\\m< 8\end{cases}}\)
vậy \(m< 8\) là tập hợp các giá trị cần tìm
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}x+y=4\\2x+3y=m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\x+x+y+y+y=m\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\4+4+y=m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-x\\8+4-x=m\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-12+m\\x=12-m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=m-8\\x=12-m\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y=m-8+12-m=4\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-8\\x=12-4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-4\\x=8\end{cases}}}\)
Thoả mãn \(x>0;y< 0\)
Vậy \(x=8\) và \(y=-4\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Giải hệ phương trình:1) hept{begin{cases}sqrt[3]{x-y}sqrt{x-y}x+ysqrt{x+y+2}end{cases}}2) hept{begin{cases}x-frac{1}{x}y-frac{1}{y}2yx^3+1end{cases}}3) hept{begin{cases}left(x-yright)left(x^2+y^2right)13left(x+yright)left(x^2-y^2right)25end{cases}left(x;yin Rright)}4) hept{begin{cases}3yfrac{y^2+2}{x^2}3xfrac{x^2+2}{y^2}end{cases}}5) hept{begin{cases}x+y-sqrt{xy}3sqrt{x+1}+sqrt{y+1}4end{cases}left(x;yin Rright)}6) hept{begin{cases}x^3-8xy^3+2yx^2-33left(y^2+1right)end{cases}left(x;yin Rright)}7)...
Đọc tiếp
Giải hệ phương trình:
1) \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{x-y}=\sqrt{x-y}\\x+y=\sqrt{x+y+2}\end{cases}}\)
2) \(\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\2y=x^3+1\end{cases}}\)
3) \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=13\\\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)=25\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
4) \(\hept{\begin{cases}3y=\frac{y^2+2}{x^2}\\3x=\frac{x^2+2}{y^2}\end{cases}}\)
5) \(\hept{\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=3\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
6) \(\hept{\begin{cases}x^3-8x=y^3+2y\\x^2-3=3\left(y^2+1\right)\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
7) \(\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)+y\left(y+x\right)=4y\\\left(x^2+1\right)\left(y+x-2\right)=y\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
8) \(\hept{\begin{cases}y+xy^2=6x^2\\1+x^2y^2=5x^2\end{cases}}\)